7. Амплитуда вынужденных колебаний материальной точки выражается функцией \(A=\dfrac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2+\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\), где \(\beta\) — коэффициент затухания, \(\omega_0\) — частота собственных колебаний материальной точки, \(\omega\) — частота вынуждающей силы, \(f_0\) — амплитудное значение вынуждающей силы, приходящейся на единицу массы. Выразите \(\beta\).

Умножим обе части на знаменатель и возведём в квадрат:

\[A^2\bigl((\omega_0^2+\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2\bigr)=f_0^2.\]

Разделим на \(A^2\), затем выделим слагаемое с \(\beta^2\):

\[4\beta^2\omega^2=\frac{f_0^2}{A^2}-(\omega_0^2+\omega^2)^2.\]

Извлечём квадратный корень. Поскольку коэффициент затухания неотрицателен, выбираем неотрицательную ветвь:

\[\beta=\frac{1}{2\omega}\sqrt{\frac{f_0^2}{A^2}-(\omega_0^2+\omega^2)^2},\qquad \omega>0.\]

Ответ: \(\displaystyle \beta=\frac{1}{2\omega}\sqrt{\frac{f_0^2}{A^2}-(\omega_0^2+\omega^2)^2}\).