7. Через концы диаметра АВ окружности с центром О проведены параллельные прямые, пересекающие окружность в точках М и К. Докажите, что МК — диаметр окружности.

Краткое пояснение:

Если две параллельные хорды равноудалены от центра окружности, то они являются диаметрами. В данном случае, прямые, проходящие через концы диаметра АВ, параллельны и пересекают окружность в точках М и К. Это означает, что хорды AM и BK параллельны, а также хорды AK и BM параллельны.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим окружность с центром О и диаметром АВ. Проведены две параллельные прямые, одна проходит через А, другая через В. Эти прямые пересекают окружность в точках М и К соответственно.
2. Шаг 2: Если прямые, проходящие через концы диаметра, параллельны, то они либо совпадают (что невозможно, так как они пересекают окружность в разных точках), либо эти прямые перпендикулярны диаметру. Однако в условии сказано, что проведены параллельные прямые, пересекающие окружность в точках М и К. Это означает, что AM || BK и AK || BM.
3. Шаг 3: Из условия, что прямые AM и BK параллельны, и AB — диаметр, следует, что AMBK — прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. То есть, АВ и МК пересекаются в точке О.
4. Шаг 4: Аналогично, если AK || BM, и AB — диаметр, то ABMK — прямоугольник. Диагонали АМ и BK пересекаются в точке О.
5. Шаг 5: Из того, что AMBK — прямоугольник, следует, что диагонали АВ и МК равны и имеют общую середину — центр окружности О.
6. Шаг 6: Поскольку точка О является серединой отрезка МК, и М и К лежат на окружности, отрезок МК проходит через центр окружности и соединяет две точки на окружности, следовательно, МК является диаметром окружности.

Доказано.