Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 7 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол CAD равен 74°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.Фото задания

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этим геометрическим заданием. У нас есть четырехугольник, который вписан в окружность. Это значит, что все его вершины лежат на окружности.

Что знаем:

  • Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
  • ∠ABC = 120°.
  • ∠CAD = 74°.

Что нужно найти:

  • ∠ABD = ?

Ключевые свойства вписанных четырехугольников:

  1. Противоположные углы в сумме дают 180°. Это значит, что ∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°.
  2. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Шаг 1: Найдем ∠ADC

По свойству 1:

∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°.

Шаг 2: Найдем ∠BAC

Угол ∠BAC и угол ∠BDC опираются на одну дугу BC. Угол ∠CAD и угол ∠CBD опираются на одну дугу CD.

Угол ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD.

Известно, что ∠ADC = 60°. Этот угол опирается на дугу ABC. Угол ∠ABC = 120° опирается на дугу ADC.

Смотрим на угол ∠ADC = 60°. Этот угол вписанный и опирается на дугу ABC. Величина дуги ABC равна 2 * 60° = 120°.

Угол ∠ABC = 120° опирается на дугу ADC. Величина дуги ADC равна 2 * 120° = 240°.

Теперь вернемся к ∠CAD = 74°. Этот угол опирается на дугу CD. Значит, дуга CD = 2 * 74° = 148°.

Шаг 3: Найдем ∠BAC

Угол ∠BAC опирается на дугу BC. Дуга BC = Дуга ADC - Дуга CD = 240° - 148° = 92°.

Теперь найдем ∠BAC, который опирается на дугу BC:

∠BAC = Дуга BC / 2 = 92° / 2 = 46°.

Шаг 4: Найдем ∠ABD

Угол ∠ABD и угол ∠ACD опираются на одну дугу AD.

Угол ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.

Нам нужен ∠ABD. Этот угол вместе с ∠DBC составляет ∠ABC.

Рассмотрим ∠BAD. Он равен ∠BAC + ∠CAD = 46° + 74° = 120°.

По свойству 1, ∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 120° = 60°.

Теперь рассмотрим угол ∠CBD. Он опирается на дугу CD, которая равна 148°. Значит, ∠CBD = 148° / 2 = 74°.

Мы ищем ∠ABD. Мы знаем ∠ABC = 120° и ∠CBD = 74°.

∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 120° - 74° = 46°.

Проверка:

Угол ∠BAC = 46°. Угол ∠BDC опирается на дугу ABC (120°), значит ∠BDC = 120° / 2 = 60°.

Угол ∠ADB опирается на дугу AB.

Угол ∠ACB опирается на дугу AB.

Угол ∠CAD = 74°, ∠CBD = 74°. Эти углы опираются на дугу CD. Все верно.

Угол ∠BAC = 46°, ∠BDC = 60°. Эти углы опираются на дугу BC. Дуга BC = 2 * 46° = 92°. Дуга BC = 2 * 60° = 120°. Здесь ошибка.

Давай переделаем. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠CAD = 74°. Этот угол опирается на дугу CD. Значит, вписанный угол ∠CBD, опирающийся на ту же дугу CD, тоже равен 74°.

∠ABC = 120°.

Мы знаем, что ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD.

Значит, ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD.

∠ABD = 120° - 74° = 46°.

Ответ:

Угол ABD равен 46°.

Итоговый ответ:

Ответ: 46