7. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это значит, что сумма противоположных углов равна 180°.

1. Найдём угол ADC: \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 92^{\circ} = 88^{\circ} \).
2. Угол CAD и угол CBD опираются на одну дугу CD. Значит, \( \angle CBD = \angle CAD = 60^{\circ} \).
3. Угол ABD и угол ACD опираются на одну дугу AD.
4. В треугольнике BCD, \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 88^{\circ} = 92^{\circ} \).
5. В треугольнике ABC, \( \angle BAC = 180^{\circ} - 92^{\circ} - \angle BCA \).
6. Углы, опирающиеся на дугу AB, равны. Например, \( \angle ADB = \angle ACB \) и \( \angle ACD = \angle ABD \).
7. Угол ADC = 88°. Это сумма углов ADB и BDC.
8. Угол ABC = 92°. Это сумма углов ABD и CBD.
9. Мы знаем \( \angle ABC = 92^{\circ} \) и \( \angle CBD = 60^{\circ} \).
10. Найдём угол ABD: \( \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 92^{\circ} - 60^{\circ} = 32^{\circ} \).

Ответ: 32°.