№ 7. Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB, BC, CD, DA соответственно взяты точки K, L, M, N так, что KL ∥ AC ∥ MN. Известно, что сумма площадей треугольников BKL и MDN равна половине площади параллелограмма ABCD, BL = 40, DN = 9. Пусть отрезки NL и AC пересекаются в точке O. Найдите длину отрезка AN.

Обозначим площадь параллелограмма через S, а отношения длин через x = BL/BC и y = DN/DA. В параллелограмме BC = DA.

Так как KL ∥ AC, из подобия треугольников BKL и BAC получаем BK/BA = BL/BC = x. Поэтому площадь треугольника BKL составляет x²/2 площади параллелограмма.

Пусть DM/ DC = t. Условие MN ∥ AC даёт t = (1 − y)/2: действительно, при координатах A=(0,0), B=(1,0), D=(0,1), C=(1,1) точки M=(1−t,1), N=(0,1−y), и параллельность MN и AC означает 1−t=t+y.

Площадь MDN составляет ty/2 = y(1−y)/4 площади параллелограмма. По условию:

\(\frac{x^2}{2}+\frac{y(1-y)}{4}=\frac12.\)

Поскольку BC = DA, из BL = 40 и DN = 9 следует y = 9/DA = 9x/40. Подстановка в уравнение площадей даёт:

\(2x^2+\frac{9x}{40}\left(1-\frac{9x}{40}\right)=2,\)

\(3281x^2+360x-3200=0.\)

Берём положительный корень: \(x=\frac{-180+20\sqrt{53316}}{3281}\). Тогда \(DA=BC=40/x\), а \(AN=DA-DN\).

Итак, \(AN=\frac{40}{x}-9=\frac{9(\sqrt{53316}-1)}{20}\approx 103.17\).

Ответ: \(\frac{9(\sqrt{53316}-1)}{20}\approx 103.17\).