7. Дан треугольник ABC. На луче AB за пределами треугольника взяли точку K, а на стороне BC — точку M. Докажите, что сторона AC пересекает прямую KM, но не пересекает отрезок KM.

Пусть прямая KM пересекает прямую AC в точке P. Рассмотрим треугольник BPK.

Так как K лежит на луче AB за пределами треугольника, точки A и K находятся по одну сторону от B на прямой AB, причём A лежит между B и K. Точка M лежит на отрезке BC.

В треугольнике BPK точки A и M лежат соответственно на сторонах BK и BP? Для доказательства достаточно применить теорему Менелая к треугольнику ABC и секущей K–M–P: K лежит на прямой AB за точкой A, M — на стороне BC, P — на прямой AC.

По теореме Менелая, если обозначить длины отрезков, получаем
\(\dfrac{AK}{KB}\cdot\dfrac{BM}{MC}\cdot\dfrac{CP}{PA}=1\) — в направленных отрезках, поскольку секущая пересекает продолжение стороны AB и сторону BC.

Из расположения точек следует, что пересечение прямой KM с прямой AC находится на продолжении AC за точкой A или C, а не на стороне AC; однако это противоречит требуемому утверждению, и вообще оно неверно при произвольном положении M на BC. Например, если M=B, прямая KM совпадает с AB и не пересекает AC кроме B, а B не лежит на AC.

Следовательно, в условии, вероятно, пропущено дополнительное ограничение на положение точки M или K. По данному тексту доказать утверждение нельзя.