7. Дан треугольник ABC. На луче BA за пределами треугольника взяли точку K, а на стороне BC — точку M. Докажите, что отрезок KM пересекает сторону AC.

Введём координаты: пусть B=(0,0), A=(1,0), C=(0,1). Тогда K=(k,0), где k>1, поскольку K лежит за точкой A на луче BA. Точка M=(0,m), где 0≤m≤1, так как M лежит на стороне BC.

Точки отрезка KM задаются формулой (x,y)=(k(1−t),mt), где 0≤t≤1. Сторона AC лежит на прямой x+y=1.

Для пересечения с AC нужно, чтобы k(1−t)+mt=1. Отсюда t=(k−1)/(k−m). Поскольку k>1 и 0≤m≤1, получаем 0<t≤1. Значит, соответствующая точка принадлежит отрезку KM. Её координаты удовлетворяют x+y=1, поэтому она принадлежит стороне AC.

Ответ: отрезок KM пересекает сторону AC.