№ 7. Дан треугольник MNC, вершины которого имеют координаты: M(2; −3; 3), N(−1; 1; −2) и C(5; 3; 1). Докажите, что треугольник равнобедренный.

Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками в пространстве.

1. Длина MN:

\(MN=\sqrt{(-1-2)^2+(1-(-3))^2+(-2-3)^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}\).

2. Длина MC:

\(MC=\sqrt{(5-2)^2+(3-(-3))^2+(1-3)^2}=\sqrt{9+36+4}=\sqrt{49}=7\).

3. Длина NC:

\(NC=\sqrt{(5-(-1))^2+(3-1)^2+(1-(-2))^2}=\sqrt{36+4+9}=\sqrt{49}=7\).

Получилось, что \(MC=NC=7\), но \(MN=\sqrt{50}\ne7\). Следовательно, по указанным координатам треугольник равнобедренный: его равные стороны — MC и NC.

Замечание: на изображении в приведённом решении для MN указано \(\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}\), а для MC — \(\sqrt{49}\). Эти вычисления подтверждают, что равны MC и NC.

Ответ: \(MC=NC=7\), поэтому \(\triangle MNC\) равнобедренный.