7. Дан треугольник со сторонами 24, 7 и 25 см.

Решение:

Проверим, является ли данный треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\).

Пусть \(a = 7\), \(b = 24\), \(c = 25\).

\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\).

\(25^2 = 625\).

Так как \(7^2 + 24^2 = 25^2\), треугольник является прямоугольным, где гипотенуза равна 25 см, а катеты — 7 см и 24 см.

а) Найдите высоту треугольника, проведенную к большей стороне;

Большая сторона — это гипотенуза, равная 25 см. Обозначим высоту, проведенную к гипотенузе, как \(h\).

Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:

1. Через катеты: \(S = \frac{1}{2} \cdot катет_1 \cdot катет_2 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = \frac{1}{2} \cdot 168 = 84\) (кв. см).
2. Через гипотенузу и высоту к ней: \(S = \frac{1}{2} \cdot гипотенуза \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h\).

Приравняем площади:

\(84 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h\)

\(168 = 25h\)

\(h = \frac{168}{25} = 6.72\) см.

б) Найдите радиус описанной окружности;

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

\(R = \frac{гипотенуза}{2} = \frac{25}{2} = 12.5\) см.

в) Найдите радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике находится по формуле \(r = \frac{a+b-c}{2}\), где \(a\) и \(b\) — катеты, а \(c\) — гипотенуза.

\(r = \frac{7 + 24 - 25}{2} = \frac{31 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.

Ответ: а) 6.72 см; б) 12.5 см; в) 3 см