7. Дано: ∆ АВС — равнобедренный, AB + BC = 26 см, P_ABC = 36 см. Найти: АВ, ВС, АС.

Решение:

Дано, что треугольник ABC равнобедренный. Это означает, что две его стороны равны. Возможны два случая:

1. AB = BC (боковые стороны равны, AC - основание).
2. AB = AC (AB и AC - боковые стороны, BC - основание) или BC = AC (BC и AC - боковые стороны, AB - основание).

Рассмотрим условие P_ABC = 36 см. Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон: P_ABC = AB + BC + AC.

Рассмотрим условие AB + BC = 26 см.

Случай 1: AB = BC (боковые стороны равны).

Тогда AB + BC = 2 * AB = 26 см. Следовательно, AB = 13 см и BC = 13 см.

Теперь найдем AC, используя периметр:

P_ABC = AB + BC + AC = 13 + 13 + AC = 36 см.

26 + AC = 36 см.

AC = 36 - 26 = 10 см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника: стороны 13 см, 13 см, 10 см.

13 + 13 > 10 (26 > 10 - верно)

13 + 10 > 13 (23 > 13 - верно)

Этот случай возможен.

Случай 2: AB = AC (AB и AC - боковые стороны).

В этом случае, BC - основание. У нас дано AB + BC = 26 см.

P_ABC = AB + BC + AC = (AB + BC) + AC = 26 + AC = 36 см.

AC = 36 - 26 = 10 см.

Так как AB = AC, то AB = 10 см.

Тогда BC = 26 - AB = 26 - 10 = 16 см.

Проверим неравенство треугольника: стороны 10 см, 16 см, 10 см.

10 + 10 > 16 (20 > 16 - верно)

10 + 16 > 10 (26 > 10 - верно)

Этот случай также возможен.

Случай 3: BC = AC (BC и AC - боковые стороны).

В этом случае, AB - основание. У нас дано AB + BC = 26 см.

P_ABC = AB + BC + AC = AB + 2 * BC = 36 см.

Подставим AB = 26 - BC из первого уравнения во второе:

(26 - BC) + 2 * BC = 36 см.

26 + BC = 36 см.

BC = 36 - 26 = 10 см.

Так как BC = AC, то AC = 10 см.

Тогда AB = 26 - BC = 26 - 10 = 16 см.

Проверим неравенство треугольника: стороны 16 см, 10 см, 10 см.

10 + 10 > 16 (20 > 16 - верно)

10 + 16 > 10 (26 > 10 - верно)

Этот случай также возможен.

Однако, если в условии задачи сказано "равнобедренный", то обычно подразумевается, что две боковые стороны равны. Если бы боковая сторона равнялась основанию, это было бы уточнено. Но поскольку все три случая удовлетворяют неравенству треугольника, и условиям задачи, и нет указания, какая сторона является основанием, возможны все три варианта.

Для однозначности, будем исходить из того, что AB и BC — это боковые стороны, так как они упомянуты в сумме AB + BC = 26 см.

Вариант 1 (AB = BC):

AB = 13 см, BC = 13 см, AC = 10 см.

Вариант 2 (AB = AC):

AB = 10 см, BC = 16 см, AC = 10 см.

Вариант 3 (BC = AC):

AB = 16 см, BC = 10 см, AC = 10 см.

Учитывая, что в условии сказано AB + BC = 26 см, и P_ABC = 36 см. Если AB и BC - боковые стороны, то AB=BC. Тогда 2*AB = 26, AB=13. AC = 36 - 26 = 10. Это первый вариант.

Если AB - боковая сторона, а BC - основание, то AB = AC. Тогда AB + BC = 26. AB + AC = 26. P = AB + BC + AC = AB + (AB+AC) = 2*AB + AC = 36. 2*AB + (26-AB) = 36. AB + 26 = 36. AB = 10. AC = 10. BC = 26-10 = 16. Второй вариант.

Если BC - боковая сторона, а AB - основание, то BC = AC. Тогда AB + BC = 26. P = AB + BC + AC = (AB+BC) + AC = 26 + AC = 36. AC = 10. BC = 10. AB = 26-10 = 16. Третий вариант.

Без уточнения, какая сторона является основанием, есть три решения.

Однако, если исходить из того, что AB+BC=26, и P=36, то AC = P - (AB+BC) = 36 - 26 = 10. Значит, AC = 10 см. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Если AC - основание, то AB = BC. Тогда AB+BC = 2*AB = 26, AB=13. Итак, AB=13, BC=13, AC=10.

Если AC - боковая сторона, то AB или BC - основание. Если AB - основание, то AC = BC = 10. Тогда AB = 36 - 10 - 10 = 16. Условие AB+BC = 16+10 = 26. Этот случай также подходит.

Если BC - основание, то AC = AB = 10. Тогда BC = 36 - 10 - 10 = 16. Условие AB+BC = 10+16 = 26. Этот случай также подходит.

Поскольку в задании не указано, какая сторона является основанием, и в условии есть AB + BC = 26 см, а P_ABC = 36 см. Из этого следует, что AC = P_ABC - (AB + BC) = 36 - 26 = 10 см. Значит, AC = 10 см.

Так как треугольник равнобедренный, одна из сторон равна 10 см. Возможны три случая:

1. AC - основание, AB = BC. Тогда AB + BC = 2 * AB = 26 см, AB = 13 см. Итак: AB = 13 см, BC = 13 см, AC = 10 см.
2. AB - боковая сторона, AC = 10 см. Тогда BC - основание, и BC = AC = 10 см. AB = 36 - 10 - 10 = 16 см. Проверим условие AB + BC = 16 + 10 = 26 см. Этот случай также возможен.
3. BC - боковая сторона, AC = 10 см. Тогда AB - основание, и AB = AC = 10 см. BC = 36 - 10 - 10 = 16 см. Проверим условие AB + BC = 10 + 16 = 26 см. Этот случай также возможен.

Однако, часто в таких задачах подразумевается, что AB и BC — это боковые стороны, либо что AC - основание. Если AC = 10 см, и это основание, то AB=BC=13 см. Если же AC=10см является боковой стороной, то либо AB=10см (тогда BC=16см), либо BC=10см (тогда AB=16см).

Будем исходить из наиболее вероятного сценария, что AB и BC — это боковые стороны, и AC — основание, или что AC - одна из боковых сторон, и AB+BC=26. Если AC=10, то AB+BC = 26. Если AB=AC, то AB=10, BC=16. Если BC=AC, то BC=10, AB=16.

Исходя из того, что P_ABC = AB + BC + AC, и дано AB + BC = 26, то AC = P_ABC - (AB + BC) = 36 - 26 = 10 см.

Теперь, поскольку треугольник равнобедренный, одна из сторон равна 10 см. Либо AC=10, и AB=BC, либо AC=10 является боковой стороной. Если AC=10 и является боковой стороной, тогда либо AB=10, либо BC=10.

Если AC = 10 см является основанием, а AB = BC (боковые стороны):

AB + BC = 2 * AB = 26 см => AB = 13 см.

Таким образом: AB = 13 см, BC = 13 см, AC = 10 см.

Если AC = 10 см является боковой стороной:

Возможен случай, когда AB = AC = 10 см. Тогда BC = 36 - 10 - 10 = 16 см. Проверяем условие AB + BC = 10 + 16 = 26 см. Верно.

Возможен случай, когда BC = AC = 10 см. Тогда AB = 36 - 10 - 10 = 16 см. Проверяем условие AB + BC = 16 + 10 = 26 см. Верно.

Без дополнительного условия, какая сторона является основанием, задача имеет три решения. Однако, наиболее распространенный вариант интерпретации в таких задачах — когда две упомянутые стороны являются боковыми.

Примем AC = 10 см как основание.

Ответ: AB = 13 см, BC = 13 см, AC = 10 см.