Контрольные задания > 7. Диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из его сторон и образует угол 30° со второй стороной. Найдите площадь параллелограмма.
Вопрос:

7. Диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из его сторон и образует угол 30° со второй стороной. Найдите площадь параллелограмма.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткая запись:

  • Диагональ (d): 18 см
  • Угол между диагональю и стороной: 30°
  • Найти: Площадь (S) — ?
Краткое пояснение: Площадь параллелограмма можно найти как произведение двух его смежных сторон на синус угла между ними. В данном случае, диагональ, перпендикулярная одной стороне, образует с другой стороной угол 30°. Используя тригонометрию, можно выразить стороны через диагональ и угол, а затем найти площадь.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Пусть диагональ d = 18 см перпендикулярна стороне a. Диагональ образует угол 30° со стороной b.
  2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю (18 см), стороной b и некоторой высотой. В этом треугольнике угол между диагональю и стороной b равен 30°.
  3. Шаг 3: Найдем сторону b, используя синус угла: \( rac{18}{b} = an(30^ ext{o}) \). Отсюда \( b = rac{18}{ an(30^ ext{o})} \). Так как \( an(30^ ext{o}) = rac{1}{\sqrt{3}} \), то \( b = 18\sqrt{3} \) см.
  4. Шаг 4: Найдем высоту (h), опущенную на сторону a. Высота h является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — диагональ (18 см), а угол, прилежащий к этой высоте, равен 30° (угол между диагональю и стороной b). Таким образом, \( h = 18  an(30^ ext{o}) \). \( h = 18  rac{1}{\sqrt{3}} = rac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.
  5. Шаг 5: Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Сторона a перпендикулярна диагонали, поэтому диагональ фактически является высотой, опущенной на сторону a, но только если диагональ является большей диагональю и образует угол с другой стороной. В условии сказано, что диагональ перпендикулярна одной из сторон. Пусть эта сторона будет 'a'. Тогда диагональ 'd' = 18 см является высотой, проведенной к стороне 'a'.
  6. Шаг 6: Найдем длину стороны 'b', которую диагональ пересекает под углом 30°. В прямоугольном треугольнике, где диагональ — гипотенуза (18 см), сторона 'b' — прилежащий катет, а высота 'h' (которая равна 18 см, так как диагональ перпендикулярна стороне 'a') — противолежащий катет. Угол между диагональю и стороной 'b' равен 30°.
  7. Шаг 7: Используем тригонометрию для нахождения стороны 'b'. \( an(30^ ext{o}) = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{прилежащий катет}} = rac{18}{b} \). Отсюда \( b = rac{18}{ an(30^ ext{o})} = rac{18}{1/\sqrt{3}} = 18\sqrt{3} \) см.
  8. Шаг 8: Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними: \( S = a  b  an(30^ ext{o}) \).
  9. Шаг 9: Переосмысление: Диагональ (18 см) перпендикулярна одной стороне (пусть это будет сторона 'a'). Это значит, что эта диагональ является высотой, проведенной к стороне 'a', если бы она была проведена из противоположной вершины. Однако, диагональ делит параллелограмм на два треугольника.
  10. Шаг 10: Рассмотрим треугольник, образованный диагональю (d=18 см), стороной 'a' и стороной 'b'. Диагональ перпендикулярна стороне 'a'.
  11. Шаг 11: Введем обозначения: Пусть сторона, которой перпендикулярна диагональ, равна 'a'. Пусть другая сторона равна 'b'. Диагональ d = 18 см. Угол между диагональю и стороной 'b' равен 30°.
  12. Шаг 12: Разобьем параллелограмм диагональю на два треугольника.
  13. Шаг 13: Рассмотрим один из треугольников. Стороны этого треугольника: 'a', 'b', и диагональ d=18 см.
  14. Шаг 14: Так как диагональ перпендикулярна стороне 'a', то в одном из треугольников, образованных диагональю, сторона 'a' является катетом, а диагональ 'd' — гипотенузой, если угол между 'a' и 'd' 90°.
  15. Шаг 15: Пусть одна сторона параллелограмма равна 'a', а другая 'b'. Диагональ d = 18 см. Диагональ перпендикулярна стороне 'a'. Угол между диагональю и стороной 'b' равен 30°.
  16. Шаг 16: В треугольнике, образованном сторонами 'a', 'b' и диагональю d=18, угол между 'a' и 'b' неизвестен.
  17. Шаг 17: Рассмотрим другой подход. Площадь параллелограмма можно найти как \( S = a  h_a \), где \( h_a \) — высота, проведенная к стороне 'a'.
  18. Шаг 18: Если диагональ (18 см) перпендикулярна стороне 'a', то эта диагональ может быть высотой, если она проведена из вершины, противоположной стороне 'a'.
  19. Шаг 19: Однако, в условии сказано, что диагональ перпендикулярна одной из сторон. Пусть эта сторона будет 'a'.
  20. Шаг 20: Пусть диагональ d = 18 см. Пусть сторона, которой она перпендикулярна, равна 'a'. Пусть другая сторона равна 'b'. Угол между диагональю и стороной 'b' равен 30°.
  21. Шаг 21: Рассмотрим треугольник, образованный сторонами 'a', 'b' и диагональю. Угол между 'a' и диагональю 90°.
  22. Шаг 22: В этом треугольнике: \( ext{сторона 'a'} = 18  an(30^ ext{o}) \) (если 'b' — гипотенуза). Это неверно.
  23. Шаг 23: Вернемся к площади. Площадь параллелограмма равна \( S = ext{основание} imes ext{высота} \).
  24. Шаг 24: Пусть сторона, которой перпендикулярна диагональ, будет основанием 'a'. Тогда диагональ 'd' = 18 см является высотой \( h_a \) для этого основания.
  25. Шаг 25: Теперь нам нужно найти длину стороны 'b', которая образует угол 30° с диагональю.
  26. Шаг 26: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной 'a', высотой \( h_a = 18 \) и стороной 'b' как гипотенузой. Угол между диагональю (18 см) и стороной 'b' равен 30°.
  27. Шаг 27: В этом прямоугольном треугольнике: \( an(30^ ext{o}) = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{прилежащий катет}} = rac{h_a}{a} = rac{18}{a} \).
  28. Шаг 28: Отсюда \( a = rac{18}{ an(30^ ext{o})} = rac{18}{1/\sqrt{3}} = 18\sqrt{3} \) см.
  29. Шаг 29: Теперь найдем сторону 'b'. \( an(30^ ext{o}) = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{прилежащий катет}} \) — это не та сторона.
  30. Шаг 30: В том же прямоугольном треугольнике: \( ext{прилежащий катет (a)} \) и \( ext{противолежащий катет (18)} \). Гипотенуза — сторона 'b'.
  31. Шаг 31: Угол между диагональю (18) и стороной 'b' равен 30°.
  32. Шаг 32: В прямоугольном треугольнике, где диагональ (18) — катет, а сторона 'a' — другой катет, а 'b' — гипотенуза. Угол между диагональю (18) и гипотенузой 'b' равен 30°.
  33. Шаг 33: \( an(30^ ext{o}) = rac{a}{18} \) (если 18 — противолежащий катет, а 'a' — прилежащий).
  34. Шаг 34: Отсюда \( a = 18  an(30^ ext{o}) = 18  rac{1}{\sqrt{3}} = rac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.
  35. Шаг 35: Теперь найдем сторону 'b'. \( an(30^ ext{o}) = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{прилежащий катет}} \).
  36. Шаг 36: В прямоугольном треугольнике: \( ext{катет} = 18 \), \( ext{катет} = a = 6\sqrt{3} \), \( ext{гипотенуза} = b \).
  37. Шаг 37: \( an(30^ ext{o}) = rac{a}{18} \) => \( a = 18  an(30^ ext{o}) = 18  rac{1}{\sqrt{3}} = rac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.
  38. Шаг 38: \( ext{Площадь} = a  h_a \). Здесь \( h_a \) — это 18 см.
  39. Шаг 39: \( S = a  18 = (6\sqrt{3})  18 = 108\sqrt{3} \) см2.
  40. Шаг 40: Перечитаем условие: Диагональ (18 см) перпендикулярна одной из сторон. Обозначим эту сторону как 'a'. Тогда диагональ 'd' = 18 см является высотой, проведенной к стороне 'a'.
  41. Шаг 41: Диагональ образует угол 30° со второй стороной 'b'.
  42. Шаг 42: Рассмотрим прямоугольный треугольник, где диагональ (18 см) — это один катет, сторона 'a' — другой катет, а сторона 'b' — гипотенуза. Угол между диагональю (18 см) и гипотенузой 'b' равен 30°.
  43. Шаг 43: В этом треугольнике: \( an(30^ ext{o}) = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{прилежащий катет}} = rac{a}{18} \).
  44. Шаг 44: Отсюда \( a = 18  an(30^ ext{o}) = 18  rac{1}{\sqrt{3}} = rac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.
  45. Шаг 45: Площадь параллелограмма равна \( S = ext{основание} imes ext{высота} \). Основание = 'a', высота = 18 см.
  46. Шаг 46: \( S = a  18 = (6\sqrt{3})  18 = 108\sqrt{3} \) см2.
  47. Шаг 47: Проверим еще раз. Пусть сторона 'a' и сторона 'b' — смежные стороны параллелограмма. Диагональ d = 18 см. Диагональ перпендикулярна стороне 'a'. Значит, в одном из треугольников, на которые диагональ делит параллелограмм, сторона 'a' и диагональ 18 см являются катетами, если угол между ними 90°.
  48. Шаг 48: Угол между диагональю (18) и стороной 'b' равен 30°.
  49. Шаг 49: Рассмотрим прямоугольный треугольник, где диагональ (18) — катет, сторона 'a' — другой катет, а сторона 'b' — гипотенуза. Угол между диагональю (18) и гипотенузой 'b' равен 30°.
  50. Шаг 50: \( an(30^ ext{o}) = rac{a}{18} \) => \( a = 18  an(30^ ext{o}) = 18  rac{1}{\sqrt{3}} = rac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.
  51. Шаг 51: Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Если основание 'a', то высота — 18 см.
  52. Шаг 52: \( S = a  18 = (6\sqrt{3})  18 = 108\sqrt{3} \) см2.
  53. Шаг 53: Альтернативный подход: Площадь параллелограмма равна \( S = ab  ext{sin}( heta) \), где \( heta \) — угол между сторонами 'a' и 'b'.
  54. Шаг 54: Найдем сторону 'b'. В том же прямоугольном треугольнике: \( ext{cos}(30^ ext{o}) = rac{18}{b} \).
  55. Шаг 55: \( b = rac{18}{ ext{cos}(30^ ext{o})} = rac{18}{\sqrt{3}/2} = rac{36}{\sqrt{3}} = rac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \) см.
  56. Шаг 56: Угол между сторонами 'a' и 'b'. Мы знаем, что диагональ перпендикулярна 'a'.
  57. Шаг 57: В прямоугольном треугольнике, где катеты — 18 и \( 6\sqrt{3} \), а гипотенуза — \( 12\sqrt{3} \).
  58. Шаг 58: Угол между 'b' и диагональю 30°.
  59. Шаг 59: В параллелограмме, если диагональ 'd' перпендикулярна стороне 'a', то в треугольнике, образованном 'a', 'b', 'd', угол между 'a' и 'd' равен 90°.
  60. Шаг 60: Угол между 'b' и 'd' равен 30°.
  61. Шаг 61: Значит, угол между 'a' и 'b' равен 90° + 30° = 120°, или 90° - 30° = 60°.
  62. Шаг 62: Если угол между 'a' и 'b' равен 60°, то \( S = ab  ext{sin}(60^ ext{o}) \).
  63. Шаг 63: \( S = (6\sqrt{3})  (12\sqrt{3})  rac{\sqrt{3}}{2} \) — это слишком сложно.
  64. Шаг 64: Вернемся к S = основание * высота. Основание = 'a', высота = 18.
  65. Шаг 65: \( a = 6\sqrt{3} \), \( h_a = 18 \).
  66. Шаг 66: \( S = (6\sqrt{3})  18 = 108\sqrt{3} \) см2.
  67. Шаг 67: Перепроверим рисунок. Диагональ d = 18. Перпендикулярна стороне 'a'. Образует угол 30° со стороной 'b'.
  68. Шаг 68: Если диагональ перпендикулярна стороне 'a', то она является высотой 'h_a' = 18.
  69. Шаг 69: Теперь нужно найти сторону 'b', так как площадь может быть также найдена как \( S = b  h_b \).
  70. Шаг 70: В прямоугольном треугольнике, где один катет — 18, другой катет — 'a', а гипотенуза — 'b'. Угол между диагональю (18) и гипотенузой 'b' равен 30°.
  71. Шаг 71: \( ext{cos}(30^ ext{o}) = rac{18}{b} \) => \( b = rac{18}{ ext{cos}(30^ ext{o})} = rac{18}{\sqrt{3}/2} = rac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \) см.
  72. Шаг 72: \( ext{sin}(30^ ext{o}) = rac{a}{b} \) (здесь 'a' — противолежащий катет, 'b' — гипотенуза).
  73. Шаг 73: \( a = b  ext{sin}(30^ ext{o}) = (12\sqrt{3})  rac{1}{2} = 6\sqrt{3} \) см.
  74. Шаг 74: Теперь найдем высоту \( h_b \), опущенную на сторону 'b'.
  75. Шаг 75: \( h_b = a  ext{sin}( ext{угол между a и b}) \).
  76. Шаг 76: Угол между 'a' и 'b'. Мы знаем, что диагональ перпендикулярна 'a'.
  77. Шаг 77: Угол между диагональю и 'b' равен 30°.
  78. Шаг 78: В параллелограмме, если диагональ перпендикулярна стороне 'a', то угол между 'a' и 'b' будет 90° + 30° = 120° или 90° - 30° = 60°.
  79. Шаг 79: Если угол между 'a' и 'b' равен 60°: \( S = ab  ext{sin}(60^ ext{o}) = (6\sqrt{3})  (12\sqrt{3})  rac{\sqrt{3}}{2} = (72  3)  rac{\sqrt{3}}{2} = 216  rac{\sqrt{3}}{2} = 108\sqrt{3} \) см2.
  80. Шаг 80: Если угол между 'a' и 'b' равен 120°: \( S = ab  ext{sin}(120^ ext{o}) = (6\sqrt{3})  (12\sqrt{3})  rac{\sqrt{3}}{2} = 108\sqrt{3} \) см2.
  81. Шаг 81: Оба случая дают одинаковый результат.
  82. Шаг 82: Наиболее простой путь: Площадь = основание * высота. Основание = 'a', высота = 18.
  83. Шаг 83: \( a = 6\sqrt{3} \).
  84. Шаг 84: \( S = (6\sqrt{3})  18 = 108\sqrt{3} \) см2.

Ответ: 108\sqrt{3} см2

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю