7. Диагональ прямоугольной трапеции с острым углом φ перпендикулярна боковой стороне. Найдите отношение оснований этой трапеции. (рис.)

Обозначим большее основание через \(a\), меньшее — через \(b\), а разность оснований — через \(d=a-b\). Пусть высота трапеции равна \(h\).

Так как боковая сторона образует с основанием острый угол \(\varphi\), то

\[\tan\varphi=\frac{h}{d},\qquad h=d\tan\varphi.\]

Из условия перпендикулярности диагонали и боковой стороны получается прямоугольный треугольник, для которого

\[h^2=bd.\]

Подставим \(h=d\tan\varphi\):

\[d^2\tan^2\varphi=bd.\]

Так как \(d\ne0\), делим на \(d\):

\[d\tan^2\varphi=b,\qquad d=b\cot^2\varphi.\]

Тогда

\[a=b+d=b+b\cot^2\varphi=b(1+\cot^2\varphi)=b\csc^2\varphi.\]

Следовательно, отношение большего основания к меньшему равно

\[\frac{a}{b}=\frac{1}{\sin^2\varphi}.\]

Ответ: \(a:b=1:\sin^2\varphi\), или \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\sin^2\varphi}\).