7. Для ізобарного нагрівання 800 молям газу на 500К надали кількість теплоти 9,4 МДж. Визначте роботу газу та зміну внутрішньої енергії.

7. Робота газу та зміна внутрішньої енергії при ізобарному нагріванні

Дано:

\( \nu = 800 \text{ моль} \)

\( \Delta T = 500 \text{ К} \)

\( Q = 9.4 \text{ МДж} = 9.4 \times 10^6 \text{ Дж} \)

Знайти:

\( A \) - робота газу

\( \Delta U \) - зміна внутрішньої енергії

Розв'язання:

За першим законом термодинаміки для ізобарного процесу:

\[ Q = \Delta U + A \]

Де \( Q \) — кількість теплоти, \( \Delta U \) — зміна внутрішньої енергії, \( A \) — робота газу.

Для одноатомного газу зміна внутрішньої енергії визначається формулою:

\[ \Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T \]

Де \( R \) — універсальна газова стала, \( R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \).

Розрахуємо зміну внутрішньої енергії:

\[ \Delta U = \frac{3}{2} \times 800 \text{ моль} \times 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \times 500 \text{ К} = 3 \times 400 \times 8.31 \times 500 = 1200000 \times 8.31 = 9972000 \text{ Дж} \approx 9.97 \text{ МДж} \]

Тепер знайдемо роботу газу:

\[ A = Q - \Delta U = 9.4 \times 10^6 \text{ Дж} - 9972000 \text{ Дж} = 9400000 \text{ Дж} - 9972000 \text{ Дж} = -572000 \text{ Дж} \approx -0.57 \text{ МДж} \]

Результат виглядає нелогічним, оскільки при нагріванні робота газу має бути додатною. Перевіримо умову. Ймовірно, кількість теплоти вказана занадто малою, або температура занадто велика, або молів занадто багато, або ж це газ з іншою ступеню вільності.

Якщо припустити, що дана кількість теплоти надана газу, і це призвело до нагрівання, то робота газу має бути додатною. Можливо, в умові задачі допущена помилка.

Проте, якщо строго слідувати даним, отримаємо від'ємну роботу, що означає, що газ не розширювався, а стискався, або ж кількість теплоти, що надається, менша за ту, що йде на збільшення внутрішньої енергії.

В ізобарному процесі робота газу визначається як:

\[ A = P \Delta V = \nu R \Delta T \]

Розрахуємо роботу за цією формулою:

\[ A = 800 \text{ моль} \times 8.31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \times 500 \text{ К} = 3324000 \text{ Дж} \approx 3.32 \text{ МДж} \]

Тепер розрахуємо кількість теплоти, яка повинна була бути надана, щоб зміна внутрішньої енергії склала \( 9.97 \text{ МДж} \) і робота склала \( 3.32 \text{ МДж} \):

\[ Q = \Delta U + A = 9.97 \text{ МДж} + 3.32 \text{ МДж} = 13.29 \text{ МДж} \]

Таким чином, якщо температура зросла на 500К, то було надано близько 13.29 МДж теплоти, а робота газу склала 3.32 МДж. Надана кількість теплоти 9.4 МДж не відповідає умовам нагрівання одноатомного газу на 500К.

Виходячи з наданих даних, розрахуємо з першого закону термодинаміки:

\[ \Delta U = 9.97 \text{ МДж} \]

\[ A = 9.4 \text{ МДж} - 9.97 \text{ МДж} = -0.57 \text{ МДж} \]

Відповідь: Робота газу складає -0.57 МДж, зміна внутрішньої енергії складає 9.97 МДж. (Припускаючи, що газ одноатомний).