7. Докажите, что если в дроби \(\frac{3x^2 + 2xy + 9y^2}{4x^2 - 3xy + 5y^2}\) вместо переменных х и у поставить соответственно 3х и Зу, то получится дробь, тождественно равная данной.

Доказательство:

Пусть дана дробь \( A = \frac{3x^2 + 2xy + 9y^2}{4x^2 - 3xy + 5y^2} \).

Заменим \( x \) на \( 3x \) и \( y \) на \( 3y \) в числителе:

\( 3(3x)^2 + 2(3x)(3y) + 9(3y)^2 = 3(9x^2) + 18xy + 9(9y^2) = 27x^2 + 18xy + 81y^2 \)

Заметим, что \( 27x^2 + 18xy + 81y^2 = 9(3x^2 + 2xy + 9y^2) \).

Теперь заменим \( x \) на \( 3x \) и \( y \) на \( 3y \) в знаменателе:

\( 4(3x)^2 - 3(3x)(3y) + 5(3y)^2 = 4(9x^2) - 27xy + 5(9y^2) = 36x^2 - 27xy + 45y^2 \)

Заметим, что \( 36x^2 - 27xy + 45y^2 = 9(4x^2 - 3xy + 5y^2) \).

Таким образом, новая дробь равна:

\( \frac{9(3x^2 + 2xy + 9y^2)}{9(4x^2 - 3xy + 5y^2)} = \frac{3x^2 + 2xy + 9y^2}{4x^2 - 3xy + 5y^2} \)

Это равно исходной дроби \( A \).

Доказано.