7 Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами (AC и BC), а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой (AB).

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Так как \( AC^2 \) и \( BC^2 \) являются квадратами длин сторон, они всегда неотрицательны. В прямоугольном треугольнике катеты имеют положительную длину, поэтому \( AC^2 > 0 \) и \( BC^2 > 0 \) (если треугольник не вырожден).

Из равенства \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \) следует, что \( AB^2 > AC^2 \) (поскольку \( BC^2 > 0 \)) и \( AB^2 > BC^2 \) (поскольку \( AC^2 > 0 \)).

Так как длины сторон положительны, из \( AB^2 > AC^2 \) следует \( AB > AC \), а из \( AB^2 > BC^2 \) следует \( AB > BC \).

Следовательно, гипотенуза (AB) всегда больше каждого из катетов (AC и BC).

Ответ: Доказано.