7. Докажите, что значение выражения 7^41 - 2 кратно 5. Заполнить таблицу ответов:

Решение:

Чтобы доказать, что \( 7^{41} - 2 \) кратно 5, нужно показать, что \( 7^{41} - 2 \) делится на 5 без остатка. Это эквивалентно тому, что \( 7^{41} - 2 \) должно оканчиваться на 0 или 5.

Рассмотрим последние цифры степеней числа 7:

• \( 7^1 = 7 \)
• \( 7^2 = 49 \) (оканчивается на 9)
• \( 7^3 = 343 \) (оканчивается на 3)
• \( 7^4 = 2401 \) (оканчивается на 1)
• \( 7^5 = 16807 \) (оканчивается на 7)

Видим, что последние цифры степеней числа 7 повторяются с циклом в 4: 7, 9, 3, 1.

Чтобы найти последнюю цифру \( 7^{41} \), разделим показатель степени 41 на длину цикла 4:

\( 41 : 4 = 10 \) с остатком 1.

Остаток 1 означает, что последняя цифра \( 7^{41} \) будет такой же, как и первая цифра в цикле, то есть 7.

Теперь найдем последнее число выражения \( 7^{41} - 2 \):

Последняя цифра \( 7^{41} \) равна 7.

Последняя цифра \( 7^{41} - 2 \) будет последней цифрой числа \( 7 - 2 = 5 \).

Так как число \( 7^{41} - 2 \) оканчивается на 5, оно делится на 5 без остатка, то есть кратно 5.

Заполнить таблицу ответов:

Ответ: Доказано, что \( 7^{41} - 2 \) кратно 5.