7. Два трактора, работая совместно, могут вспахать поле за 12 ч. Если бы сначала половину поля вспахал первый трактор, а затем второй трактор вспахал оставшуюся часть, то на вспашку поля было бы затрачено 25 ч. За какое время может вспахать это поле каждый трактор, работая отдельно?

Решение:

Пусть \( x \) — время, за которое первый трактор вспашет всё поле, а \( y \) — время, за которое второй трактор вспашет всё поле. Тогда производительность первого трактора равна \( \frac{1}{x} \) поля в час, а второго — \( \frac{1}{y} \) поля в час.

1. Работают совместно:

Когда два трактора работают вместе, их производительности складываются:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \quad (1) \]

2. Работают по очереди:

Первый трактор вспахивает половину поля за \( \frac{1}{2} x \) часов.

Второй трактор вспахивает оставшуюся половину поля за \( \frac{1}{2} y \) часов.

Общее время работы составляет 25 часов:

\[ \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y = 25 \]

Умножим обе части на 2:

\[ x + y = 50 \quad (2) \]

3. Решаем систему уравнений:

Из уравнения (2) выразим \( y \):

\[ y = 50 - x \]

Подставим это значение в уравнение (1):

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12} \]

\[ \frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 50 \cdot 12 = 50x - x^2 \]

\[ 600 = 50x - x^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 50x + 600 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{100} = 10 \]

Найдём корни \( x \):

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]

4. Находим соответствующие значения y:

Если \( x_1 = 30 \), то \( y_1 = 50 - 30 = 20 \).

Если \( x_2 = 20 \), то \( y_2 = 50 - 20 = 30 \).

Таким образом, есть два возможных варианта:

• Первый трактор вспахивает поле за 30 часов, а второй — за 20 часов.
• Первый трактор вспахивает поле за 20 часов, а второй — за 30 часов.

Оба варианта удовлетворяют условию задачи.

Ответ: один трактор вспашет поле за 20 часов, а другой — за 30 часов.