7. Два велосипедиста одновременно отправились в 130-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость второго велосипедиста (в км/ч). Тогда скорость первого велосипедиста равна \( v + 3 \) км/ч.

Время, за которое первый велосипедист проехал 130 км, равно \( t_1 = \frac{130}{v+3} \) часа.

Время, за которое второй велосипедист проехал 130 км, равно \( t_2 = \frac{130}{v} \) часа.

По условию, первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго, значит:

\( t_2 - t_1 = 3 \)

Подставим выражения для времени:

\( \frac{130}{v} - \frac{130}{v+3} = 3 \)

Умножим обе части уравнения на \( v(v+3) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 130(v+3) - 130v = 3v(v+3) \)

Раскроем скобки:

\( 130v + 390 - 130v = 3v^2 + 9v \)

Упростим уравнение:

\( 390 = 3v^2 + 9v \)

Разделим все члены на 3:

\( 130 = v^2 + 3v \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( v^2 + 3v - 130 = 0 \)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \)

Найдем корни уравнения:

\( v_1 = \frac{-3 + 23}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 \)

\( v_2 = \frac{-3 - 23}{2 \cdot 1} = \frac{-26}{2} = -13 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 10 \) км/ч. Это скорость второго велосипедиста.

Нам нужно найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, то есть скорость второго велосипедиста.

Скорость первого велосипедиста: \( v+3 = 10+3 = 13 \) км/ч.

Проверим время:

Время второго: \( \frac{130}{10} = 13 \) часов.

Время первого: \( \frac{130}{13} = 10 \) часов.

Разница во времени: \( 13 - 10 = 3 \) часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 10 км/ч.