7. Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость второго велосипедиста (км/ч).

Тогда скорость первого велосипедиста равна \( v + 16 \) (км/ч).

Время, которое затратил второй велосипедист на 105 км:

\[ t_2 = \frac{105}{v} \]

Время, которое затратил первый велосипедист на 105 км:

\[ t_1 = \frac{105}{v + 16} \]

По условию, первый велосипедист прибыл на 4 часа раньше второго, значит:

\[ t_2 - t_1 = 4 \]

\[ \frac{105}{v} - \frac{105}{v + 16} = 4 \]

Умножим обе части уравнения на \( v(v + 16) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 105(v + 16) - 105v = 4v(v + 16) \]

\[ 105v + 1680 - 105v = 4v^2 + 64v \]

\[ 1680 = 4v^2 + 64v \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ 4v^2 + 64v - 1680 = 0 \]

Разделим на 4:

\[ v^2 + 16v - 420 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 256 + 1680 = 1936 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44 \]

Найдем \( v \):

\[ v = \frac{-16 \pm 44}{2} \]

Так как скорость не может быть отрицательной, возьмём положительный корень:

\[ v = \frac{-16 + 44}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]

Скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч. Скорость первого: \( 14 + 16 = 30 \) км/ч.

Проверим время:

Время второго: \( 105 / 14 = 7.5 \) часа.

Время первого: \( 105 / 30 = 3.5 \) часа.

Разница во времени: \( 7.5 - 3.5 = 4 \) часа. Всё верно.

Ответ: 14 км/ч.