7. Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

1. Обозначим скорость второго велосипедиста как \( v \) км/ч.
2. Тогда скорость первого велосипедиста будет \( v + 16 \) км/ч.
3. Расстояние, которое преодолевают оба велосипедиста, равно 105 км.
4. Время, затраченное вторым велосипедистом: \( t_2 = \frac{105}{v} \) часов.
5. Время, затраченное первым велосипедистом: \( t_1 = \frac{105}{v + 16} \) часов.
6. По условию, первый велосипедист прибывает на 4 часа раньше второго, значит: \( t_2 - t_1 = 4 \)
7. Подставим выражения для времени: \( \frac{105}{v} - \frac{105}{v + 16} = 4 \)
8. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{105(v + 16) - 105v}{v(v + 16)} = 4 \)
9. Раскроем скобки и упростим числитель: \( \frac{105v + 1680 - 105v}{v^2 + 16v} = 4 \)
10. \( \frac{1680}{v^2 + 16v} = 4 \)
11. Умножим обе части на \( v^2 + 16v \): \( 1680 = 4(v^2 + 16v) \)
12. Разделим обе части на 4: \( 420 = v^2 + 16v \)
13. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( v^2 + 16v - 420 = 0 \)
14. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 256 + 1680 = 1936 \)
15. Найдём \( \sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44 \)
16. Найдём корни уравнения: \( v_1 = \frac{-16 + 44}{2} = \frac{28}{2} = 14 \)
17. \( v_2 = \frac{-16 - 44}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \)
18. Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень не подходит.
19. Следовательно, скорость второго велосипедиста \( v = 14 \) км/ч.

Ответ: 14 км/ч.