\((7 : \frac{5}{6} - 3\frac{1}{9}) \cdot 2\frac{3}{5} : ((\frac{3}{8} + \frac{5}{6} + \frac{5}{12}) \cdot \frac{8}{25})\)

Выполним действия по порядку.

1. \(7 : \frac{5}{6} = 7 \cdot \frac{6}{5} = \frac{42}{5}\).
2. \(3\frac{1}{9} = \frac{28}{9}\), поэтому
   \[\frac{42}{5} - \frac{28}{9} = \frac{378 - 140}{45} = \frac{238}{45}.\]
3. \(2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}\), поэтому
   \[\frac{238}{45} \cdot \frac{13}{5} = \frac{3094}{225}.\]
4. Вычислим выражение в скобках:
   \[\frac{3}{8} + \frac{5}{6} + \frac{5}{12} = \frac{9}{24} + \frac{20}{24} + \frac{10}{24} = \frac{39}{24} = \frac{13}{8}.\]
5. \[\frac{13}{8} \cdot \frac{8}{25} = \frac{13}{25}.\]
6. Деление заменим умножением на обратную дробь:
   \[\frac{3094}{225} : \frac{13}{25} = \frac{3094}{225} \cdot \frac{25}{13} = \frac{238}{9}.\]

Ответ: \(\frac{238}{9} = 26\frac{4}{9}\).