№ 7. Имеет ли следующая система линейных уравнений единственное решение? \(x_1+2x_2+x_3=2\), \(15x_2+5x_3+5x_4=20\), \(-x_1+3x_3+x_4=5\), \(9x_1+3x_2+6x_3=3\).

Выразим переменные последовательно.

1. Из первого уравнения: \(x_1=2-2x_2-x_3\).
2. Подставим это выражение в третье уравнение:
   \(-\left(2-2x_2-x_3\right)+3x_3+x_4=5\),
   откуда \(2x_2+4x_3+x_4=7\), поэтому \(x_4=7-2x_2-4x_3\).
3. Второе уравнение разделим на 5: \(3x_2+x_3+x_4=4\). Подставим \(x_4\):
   \(3x_2+x_3+7-2x_2-4x_3=4\),
   \(x_2-3x_3=-3\), следовательно, \(x_2=3x_3-3\).
4. Четвёртое уравнение разделим на 3: \(3x_1+x_2+2x_3=1\). Подставим \(x_1=2-2x_2-x_3\):
   \(3(2-2x_2-x_3)+x_2+2x_3=1\),
   \(5x_2+x_3=5\).
5. Подставим \(x_2=3x_3-3\):
   \(5(3x_3-3)+x_3=5\),
   \(16x_3=20\), поэтому \(x_3=\frac{5}{4}\).
6. Тогда \(x_2=3\cdot\frac{5}{4}-3=\frac{3}{4}\).
7. \(x_1=2-2\cdot\frac{3}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}\).
8. \(x_4=7-2\cdot\frac{3}{4}-4\cdot\frac{5}{4}=\frac{1}{2}\).

Все переменные определяются однозначно, поэтому система имеет единственное решение.

Ответ: да, система имеет единственное решение: \(x_1=-\frac{3}{4}\), \(x_2=\frac{3}{4}\), \(x_3=\frac{5}{4}\), \(x_4=\frac{1}{2}\).