7. \( \int \frac{\sin^3 x}{\cos^4 x} dx \)

Краткое пояснение:

Для решения этого интеграла будем использовать тригонометрические преобразования и метод замены переменной.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем числитель, используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
   \( \sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x = \sin x (1 - \cos^2 x) \)
2. Шаг 2: Подставим преобразованное выражение в интеграл.
   \( \int \frac{\sin x (1 - \cos^2 x)}{\cos^4 x} dx \)
3. Шаг 3: Введем замену переменной. Пусть \( u = \cos x \). Тогда \( du = -\sin x dx \).
   \( \sin x dx = -du \)
4. Шаг 4: Подставим замену в интеграл.
   \( \int \frac{1 - u^2}{u^4} (-du) = - \int \frac{1 - u^2}{u^4} du \)
5. Шаг 5: Разобьем дробь на две и проинтегрируем.
   \( - \int (\frac{1}{u^4} - \frac{u^2}{u^4}) du = - \int (u^{-4} - u^{-2}) du \)
   \( - [\frac{u^{-3}}{-3} - \frac{u^{-1}}{-1}] + C = - [-\frac{1}{3u^3} + \frac{1}{u}] + C \)
   \( = \frac{1}{3u^3} - \frac{1}{u} + C \)
6. Шаг 6: Вернемся к исходной переменной, подставив \( u = \cos x \).
   \( \frac{1}{3\cos^3 x} - \frac{1}{\cos x} + C \)

Ответ: \( \frac{1}{3\cos^3 x} - \frac{1}{\cos x} + C \)