7 класс. Карточка 4. 1. Сравнение углов. Измерение углов. 2. Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника. Доказательство. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение задачи №3:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \).

По условию, один из острых углов равен \( 60^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 60^{\circ} \). Тогда второй острый угол \( \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике напротив угла в \( 30^{\circ} \) лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, катет, противолежащий углу \( B \), то есть катет \( AC \), является меньшим катетом.

Пусть гипотенуза равна \( c \) (то есть AB = \( c \)), а меньший катет равен \( a \) (то есть AC = \( a \)).

По условию задачи, \( c + a = 30 \) см.

Из свойства катета, противолежащего углу в \( 30^{\circ} \), имеем: \( a = \frac{1}{2}c \).

Подставим это соотношение в первое уравнение:

\[ c + \frac{1}{2}c = 30 \]

\[ \frac{3}{2}c = 30 \]

\[ c = 30 \cdot \frac{2}{3} \]

\[ c = 20 \text{ см} \]

Найдем длину меньшего катета:

\[ a = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ см} \]

Проверим: \( c + a = 20 + 10 = 30 \) см.

Ответ: Гипотенуза треугольника равна 20 см.