7 класс. Карточка 8. 1. Определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Построение их в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках. 2. Аксиома параллельных прямых. 3. На рисунке ∠B = ∠C = 90°, AO = OD. Докажите, что ΔABO = ΔOCD, и найдите ∠A, если ∠D = 38°.

Решение:

1. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
2. Биссектриса треугольника — это отрезок, который делит угол треугольника пополам.
3. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение).
4. Построение:
   • В остроугольном треугольнике все медианы, биссектрисы и высоты находятся внутри треугольника.
   • В прямоугольном треугольнике медианы и биссектрисы находятся внутри, а высота, проведённая из вершины прямого угла, также внутри. Высоты, проведённые из вершин острых углов, совпадают со сторонами.
   • В тупоугольном треугольнике медианы и биссектрисы находятся внутри, а две высоты (из вершин острых углов) проведены к продолжениям сторон и лежат вне треугольника.
5. Аксиома параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
6. Доказательство и решение задачи №3:
   1. Дано: ∠B = ∠C = 90°, AO = OD.
   2. Доказать: ΔABO = ΔOCD.
   3. Найти: ∠A, если ∠D = 38°.
   4. Доказательство равенства треугольников:
      1. Рассмотрим треугольники ΔABO и ΔOCD.
      2. У нас дано, что AO = OD.
      3. Углы ∠AOB и ∠DOC являются вертикальными, поэтому ∠AOB = ∠DOC.
      4. Углы ∠B и ∠C равны 90°, что означает, что AB ⊥ BO и CD ⊥ OD.
      5. В данном случае, нам не хватает одного признака равенства треугольников (например, угла или стороны). Однако, если предположить, что точки B, O, C лежат на одной прямой, то мы можем рассмотреть треугольники.
      6. Если мы рассматриваем треугольники ABO и OCD, и знаем, что AO=OD и ∠AOB = ∠COD (вертикальные углы), то для доказательства равенства по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними) нам нужна сторона AB = CD, либо по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам) нам нужен угол ∠OAB = ∠ODC или ∠OBA = ∠OCD.
      7. Предположим, что B, O, C лежат на одной прямой. Тогда ∠AOB и ∠COD — вертикальные углы, значит, ∠AOB = ∠COD.
      8. У нас дано, что AO = OD.
      9. Поскольку ∠B = ∠C = 90°, то треугольники ABO и OCD являются прямоугольными.
      10. По второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), если гипотенузы равны (AO = OD) и острые углы при вершине O равны (∠AOB = ∠DOC), то треугольники равны.
      11. Следовательно, ΔABO = ΔOCD.
   5. Нахождение ∠A:
      1. Так как треугольники ΔABO и ΔOCD равны, то соответствующие углы равны.
      2. Следовательно, ∠A = ∠D.
      3. По условию, ∠D = 38°.
      4. Значит, ∠A = 38°.

Ответ: ∠A = 38°.