7 класс. Карточка 9. 1. Теорема о единственности перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой. 2. Неравенство треугольника. 3. На рисунке AB = CD, BD = AC. Докажите, что ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠ABD, если ∠ACD = 70°.

Решение:

1. Теорема о единственности перпендикуляра: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

2. Неравенство треугольника: Сумма двух любых сторон треугольника всегда больше третьей стороны.

3. Доказательство и нахождение угла:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle CDB \).
2. Из условия задачи нам дано, что \( AB = CD \) и \( BD = AC \).
3. Сторона \( BD \) является общей для обоих треугольников.
4. Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle CDB \) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle CAD = \angle ADB \).
6. Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle ACD \) и \( \triangle ABD \).
7. Из условия \( AB = CD \) и \( AC = BD \).
8. Сторона \( AD \) является общей для обоих треугольников.
9. Следовательно, \( \triangle ACD = \triangle ABD \) по третьему признаку равенства треугольников.
10. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle CAD = \angle ADB \) и \( \angle ACD = \angle ABD \).
11. Нам дано, что \( \angle ACD = 70^{\circ} \).
12. Следовательно, \( \angle ABD = \angle ACD = 70^{\circ} \).

Ответ: ∠ABD = 70°.