7 класс. Вероятность и статистика. Самостоятельная работа по теме «Графы». Вариант 2. 1. На рисунке изображены графы. Сколько у каждого из них ребер; вершин; изолированных вершин? 2. На каких рисунках графы одинаковы? 3. Изобразите три разных графа, у которых четыре ребра, четыре вершины. Найдите сумму степеней вершин каждого графа.

Разбор Варианта 2:

1. Анализ графов:

• Граф а) (Квадрат с кривой линией):
  • Ребра: 4 (стороны квадрата) + 1 (кривая линия) = 5
  • Вершины: 4 (углы квадрата) + 2 (концы кривой) = 6
  • Изолированные вершины: 0
• Граф б) (Две прямоугольные фигуры с точками):
  • Ребра: 4 (большой квадрат) + 3 (маленький квадрат) + 2 (соединительные линии) = 9
  • Вершины: 4 (углы большого) + 4 (углы маленького) + 2 (концы соединительных линий) = 10
  • Изолированные вершины: 0

2. Одинаковые графы:

На рисунках а) и б) изображены разные графы. Они отличаются количеством вершин и ребер, а также их расположением.

3. Графы с четырьмя ребрами и четырьмя вершинами:

Вот три примера таких графов:

1. Граф 1 (Полный граф $$K_4$$ минус одно ребро):
   • Вершины: 1, 2, 3, 4
   • Ребра: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3)
   • Степени: Вершина 1 - 3, Вершина 2 - 3, Вершина 3 - 2, Вершина 4 - 1. Сумма = 3+3+2+1 = 9. Ошибка. Нужно 4 ребра.
2. Граф 1 (Цикл с присоединенной вершиной):
   • Вершины: 1, 2, 3, 4
   • Ребра: (1,2), (2,3), (3,1) - это треугольник. Четвертое ребро: (1,4).
   • Степени: Вершина 1 - 3, Вершина 2 - 2, Вершина 3 - 2, Вершина 4 - 1. Сумма = 3+2+2+1 = 8.
3. Граф 2 (Путь с одним циклом):
   • Вершины: 1, 2, 3, 4
   • Ребра: (1,2), (2,3), (3,4), (4,1) - это цикл. 4 ребра, 4 вершины.
   • Степени: Все вершины имеют степень 2. Сумма = 2+2+2+2 = 8.
4. Граф 3 (Звезда с одним дополнительным ребром):
   • Вершины: 1, 2, 3, 4
   • Ребра: (1,2), (1,3), (1,4). Это звезда (3 ребра). Добавим ребро (2,3).
   • Ребра: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3).
   • Степени: Вершина 1 - 3, Вершина 2 - 2, Вершина 3 - 2, Вершина 4 - 1. Сумма = 3+2+2+1 = 8.

По теореме о сумме степеней, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу ребер. В данном случае 4 ребра * 2 = 8. Поэтому сумма степеней для любого графа с 4 ребрами будет 8.

Итого, три разных графа (с 4 ребрами и 4 вершинами):

1. Цикл (Квадрат): 1-2-3-4-1
2. Треугольник с «хвостом»: 1-2, 2-3, 3-1, 1-4
3. Граф «бабочка» (две вершины соединены двумя ребрами): 1-2, 1-3, 2-3, 1-4 (уже использовалось) Попробуем так: 1-2, 2-3, 3-1 (треугольник) и 4-1. Это было. Давайте 1-2, 2-3, 3-4, 4-2. 4 ребра, 4 вершины. Степени: 1(1), 2(3), 3(2), 4(2). Сумма = 1+3+2+2 = 8.

Сумма степеней для всех трех графов: 8.