7 класс 1. Доказательство теоремы о свойстве катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. 2. С помощью циркуля и линейки постройте середину данного отрезка. 3. В равнобедренном треугольнике периметр равен 150 см, боковая сторона больше основания на 15 см. Найдите все стороны этого треугольника.

1. Теорема о свойстве катета прямоугольного треугольника:

Теорема: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 30^{\circ} \).
2. Проведём медиану CM к гипотенузе AB. По свойству медианы, проведённой к гипотенузе, \( CM = AM = MB = \frac{1}{2} AB \).
3. Рассмотрим треугольник AMC. Так как \( AM = CM \), он равнобедренный.
4. Угол \( \angle MAC = 30^{\circ} \). В равнобедренном треугольнике AMC углы при основании AM равны, поэтому \( \angle ACM = \angle MAC = 30^{\circ} \).
5. Сумма углов в треугольнике AMC равна 180°, следовательно, \( \angle AMC = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
6. Теперь рассмотрим катет BC. Он лежит против угла \( \angle A = 30^{\circ} \).
7. В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
8. В треугольнике CMB: \( \angle CMB = 180^{\circ} - \angle AMC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).
9. Так как \( \angle B = \angle CMB = 60^{\circ} \), треугольник CMB равнобедренный с основанием BC. Следовательно, \( BC = CM \).
10. Поскольку \( CM = \frac{1}{2} AB \), то \( BC = \frac{1}{2} AB \).

Вывод: Катет BC, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы AB.

2. Построение середины отрезка:

Для построения середины данного отрезка AB с помощью циркуля и линейки:

1. С центром в точке A и радиусом, большим половины отрезка AB, проведите дугу.
2. С центром в точке B и тем же радиусом проведите другую дугу так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках.
3. Соедините эти две точки прямой линией. Эта линия будет перпендикулярна отрезку AB.
4. Точка пересечения этой прямой с отрезком AB и будет серединой отрезка AB.

3. Стороны равнобедренного треугольника:

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Периметр \( P = 150 \) см.
• Боковая сторона больше основания на 15 см.

Найти:

• Все стороны треугольника.

Решение:

Пусть \( b \) — длина боковой стороны, а \( a \) — длина основания.

1. По условию, боковая сторона больше основания на 15 см: \( b = a + 15 \).
2. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Таким образом, \( P = a + b + b = a + 2b \).
3. Подставим значение периметра: \( 150 = a + 2b \).
4. Подставим выражение для \( b \) из первого уравнения во второе: \( 150 = a + 2(a + 15) \).
5. Раскроем скобки: \( 150 = a + 2a + 30 \).
6. Приведём подобные члены: \( 150 = 3a + 30 \).
7. Вычтем 30 из обеих частей уравнения: \( 150 - 30 = 3a \) \( 120 = 3a \).
8. Разделим обе части на 3, чтобы найти \( a \): \( a = \frac{120}{3} = 40 \) см.
9. Теперь найдём длину боковой стороны \( b \): \( b = a + 15 = 40 + 15 = 55 \) см.
10. Проверим периметр: \( 40 + 55 + 55 = 150 \) см.

Ответ: Основание треугольника равно 40 см, а боковые стороны — по 55 см.