7 класс 1. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон. 2. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если хорда СВ равна 10 см, диаметр АВ равен 12 см. 3. На рисунке ∠1 = 82°, ∠2 = 98°, ∠3 = 65°. Найдите угол 4. 4. Сумма гипотенузы СЕ и ка- тета CD прямоугольного треуголь- ника CDE равна 31 см, а их раз- ность равна 3 см. Найдите рассто- яние от вершины С до прямой DE.

Разбор задач:

Задача 1:

Это задача на построение. Для её решения потребуются циркуль, линейка и карандаш. Алгоритм построения будет зависеть от того, какие именно две стороны и какая медиана даны.

Задача 2:

Дано:

• Окружность с центром O.
• AB и CD — диаметры.
• Хорда CB = 10 см.
• Диаметр AB = 12 см.

Найти: Периметр треугольника AOD.

Решение:

1. Так как AB — диаметр, то радиус окружности равен 12 / 2 = 6 см.
2. Радиусы OD и OA также равны 6 см.
3. Треугольник AOD — равнобедренный (OA = OD = 6 см).
4. Треугольник COB — равнобедренный, так как OC = OB = 6 см (радиусы). Угол COB равен углу AOD как вертикальные углы.
5. В равнобедренном треугольнике COB, если провести высоту из O к CB, она разделит CB пополам (5 см).
6. Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике (с катетами 5 см и высотой), можно найти высоту. Однако, для периметра AOD нам нужна длина AD.
7. Так как AB и CD — диаметры, то точки A, O, B и C, O, D лежат на одной прямой.
8. Треугольник COB и треугольник AOD подобны (по двум углам: вертикальные углы при O и углы при основании равнобедренных треугольников).
9. Мы можем найти длину AD, если рассмотрим треугольник AOD.
10. Важно: В задаче дана хорда CB. Треугольник AOD имеет стороны OA и OD, которые являются радиусами.
11. Периметр AOD = OA + OD + AD = 6 + 6 + AD = 12 + AD.
12. Чтобы найти AD, нужно найти угол COB. В треугольнике COB, если мы найдем высоту, мы сможем найти половину угла COB.
13. Упрощение: Углы AOD и COB равны как вертикальные.
14. Треугольник COB не обязательно прямоугольный.
15. Рассмотрим треугольник COB: OC = OB = 10 (если CB=10, то это хорда, а не радиус). Ошибка в прочтении. CB = 10 см - это длина хорды.
16. Пересмотрим: OA = OD = R = 6 см. Треугольник AOD — равнобедренный.
17. Угол AOD = Угол COB (вертикальные).
18. В треугольнике COB: OC = OB = 6 (радиусы). CB = 10 (хорда).
19. Найдем высоту OM к хорде CB. В прямоугольном треугольнике CMB: CM = 5 см, OB = 6 см. $$OM = \text{sqrt}(OB^2 - CM^2) = \text{sqrt}(6^2 - 5^2) = \text{sqrt}(36-25) = \text{sqrt}(11)$$.
20. Теперь в треугольнике AOD, зная OA=6, OD=6, нам нужно найти AD.
21. Ключевой момент: AB и CD - диаметры. Это значит, что они пересекаются в центре O.
22. Треугольник COB равнобедренный (OC=OB=R). Треугольник AOD равнобедренный (OA=OD=R).
23. Угол COB = Угол AOD (вертикальные).
24. Угол CAD = Угол CBD (опираются на одну дугу CD).
25. Угол ACB = Угол ADB (опираются на диаметр AB, значит, равны 90 градусов).
26. В треугольнике COB, по теореме косинусов: $$CB^2 = OC^2 + OB^2 - 2 \times OC \times OB \times \text{cos}(\text{Угол } COB)$$.
27. $$10^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \times 6 \times 6 \times \text{cos}(\text{Угол } COB)$$.
28. $$100 = 36 + 36 - 72 \times \text{cos}(\text{Угол } COB)$$.
29. $$100 = 72 - 72 \times \text{cos}(\text{Угол } COB)$$.
30. $$28 = -72 \times \text{cos}(\text{Угол } COB)$$.
31. $$\text{cos}(\text{Угол } COB) = -\frac{28}{72} = -\frac{7}{18}$$.
32. Угол AOD = Угол COB, значит $$\text{cos}(\text{Угол } AOD) = -\frac{7}{18}$$.
33. Теперь найдем AD в треугольнике AOD по теореме косинусов:
34. $$AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2 \times OA \times OD \times \text{cos}(\text{Угол } AOD)$$.
35. $$AD^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \times 6 \times 6 \times (-\frac{7}{18})$$.
36. $$AD^2 = 36 + 36 - 72 \times (-\frac{7}{18})$$.
37. $$AD^2 = 72 + 4 \times 7$$.
38. $$AD^2 = 72 + 28 = 100$$.
39. $$AD = \text{sqrt}(100) = 10$$ см.
40. Периметр треугольника AOD = OA + OD + AD = 6 + 6 + 10 = 22 см.

Ответ: 22 см.

Задача 3:

Дано:

• На рисунке: ∠1 = 82°, ∠2 = 98°, ∠3 = 65°.

Найти: Угол 4.

Решение:

1. Линии, образующие углы 1 и 2, параллельны, так как ∠1 + ∠2 = 82° + 98° = 180°. Это односторонние углы, и их сумма равна 180°, следовательно, линии параллельны.
2. Линии, образующие углы 3 и 4, пересечены секущей.
3. Угол 2 и угол, смежный с углом 4, являются односторонними углами при параллельных прямых, пересеченных секущей.
4. Угол, смежный с углом 4, равен $$180^\text{o} - \text{Угол } 4$$.
5. Рассмотрим секущую, пересекающую параллельные прямые. Угол 3 (65°) и внутренний накрест лежащий угол к углу 4 равны.
6. Однако, рисунок показывает, что углы 1 и 2 относятся к одной паре параллельных прямых, а углы 3 и 4 - к другой.
7. Давайте предположим, что две горизонтальные линии параллельны.
8. Угол 1 и угол, смежный с углом 2, являются соответственными углами. Если бы они были равны, то параллельность была бы очевидна.
9. Перечитываем условие: ∠1 = 82°, ∠2 = 98°, ∠3 = 65°.
10. Если две горизонтальные линии параллельны, то угол, смежный с углом 1, и угол 3 должны быть как-то связаны.
11. Давайте предположим, что углы 1 и 2 образованы секущей, пересекающей две параллельные прямые. Тогда ∠1 + ∠2 = 82° + 98° = 180°. Это говорит о том, что эти прямые параллельны.
12. Теперь рассмотрим другую секущую, которая образует углы 3 и 4.
13. Угол 3 (65°) и внутренний накрест лежащий угол к углу 4 равны.
14. Угол 3 и угол 4 являются односторонними углами при пересечении секущей с двумя другими параллельными прямыми.
15. Важно: Рисунок может быть неточным. Будем исходить из данных.
16. Если предположить, что верхняя и нижняя горизонтальные линии параллельны (из-за ∠1 + ∠2 = 180°), то угол 3 и внутренний накрест лежащий угол к углу 4 равны.
17. Альтернативное толкование рисунка: Углы 1, 2, 3, 4 относятся к разным пересечениям.
18. По условию задачи: На рисунке ∠1 = 82°, ∠2 = 98°, ∠3 = 65°. Найдите угол 4.
19. Если предположить, что две горизонтальные линии параллельны (потому что ∠1 + ∠2 = 180°):
20. Угол 1 и угол, который находится слева от вертикальной линии, на верхней горизонтальной прямой, являются смежными.
21. Угол 3 и угол 4 являются смежными углами.
22. Рассмотрим секущую, образующую углы 3 и 4.
23. Если вертикальная линия является секущей для двух параллельных горизонтальных линий:
24. Угол 1 и внутренний накрест лежащий угол к углу 3 равны.
25. Угол 2 и соответственный угол к углу 4 равны.
26. Давайте искать информацию, которая связывает углы.
27. ∠1 и смежный с ним угол на той же прямой = 180°.
28. ∠1 = 82°. Смежный с ним = 180° - 82° = 98°.
29. ∠2 = 98°. Это означает, что углы 1 и 2 образуют полную прямую.
30. ∠3 = 65°.
31. Ключ к решению: Углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами при двух секущих, пересекающих две параллельные прямые. Если это так, то ∠1 = ∠3. Но 82° != 65°. Значит, эти прямые не параллельны, либо углы не так расположены.
32. Посмотрим на рисунок внимательно: Две горизонтальные линии пересечены одной секущей (образует углы 1 и 2). Затем другая секущая пересекает нижнюю горизонтальную линию (образует угол 3) и верхнюю горизонтальную линию (образует угол 4).
33. Если две горизонтальные линии параллельны (по ∠1 + ∠2 = 180°):
34. Угол 1 = 82°. Тогда внешний накрест лежащий угол к углу 3 будет равен 82°.
35. Угол 3 = 65°.
36. Угол 4 и угол, смежный с ним, образуют 180°.
37. Давайте найдем угол, который является накрест лежащим к углу 3. Он будет равен 65°.
38. Угол 4 и этот накрест лежащий угол являются смежными, если бы они лежали на одной прямой.
39. Другой подход: Угол 2 = 98°. Этот угол и угол, который находится под ним и слева от второй секущей, являются односторонними, и их сумма равна 180°.
40. Угол, лежащий под углом 2 и слева от второй секущей = 180° - 98° = 82°.
41. Этот угол и угол 4 являются смежными.
42. Это неверно.
43. Перечитаем условие задачи: На рисунке ∠1 = 82°, ∠2 = 98°, ∠3 = 65°. Найдите угол 4.
44. Если верхняя и нижняя прямые параллельны (что следует из ∠1+∠2 = 180°):
45. Угол 1 и соответственный угол к углу 3 равны. Если бы угол 3 был расположен иначе.
46. Рассмотрим углы, образуемые второй секущей с параллельными прямыми.
47. Угол 3 = 65°. Угол, который является накрест лежащим к углу 3, равен 65°.
48. Угол 4 и этот угол 65° образуют развернутый угол, если бы они лежали на одной прямой.
49. На рисунке видно: Угол 3 и угол, который является смежным к углу 4, вместе с еще одним углом образуют 180° на нижней прямой.
50. Давайте найдем внутренний накрест лежащий угол к углу 3. Он будет равен 65°.
51. Этот угол и угол 4 являются смежными.
52. Угол 4 и угол 3 являются односторонними углами. Нет, это не так.
53. Если две горизонтальные линии параллельны:
54. Угол 1 = 82°. Угол, который является внутренним накрест лежащим к углу 1, будет равен 82°.
55. Угол 3 = 65°.
56. Угол 4 и угол, который является смежным с углом 3, вместе образуют 180°.
57. Ключ: Угол 4 и угол, который является смежным к углу 3 (180° - 65° = 115°), являются накрест лежащими. Нет.
58. Рассмотрим углы, образуемые второй секущей с параллельными прямыми.
59. Угол 3 = 65°. Угол, который является внутренним накрест лежащим к углу 3, равен 65°.
60. Угол 4 и этот угол 65° образуют прямой угол, если бы они лежали на одной прямой.
61. На рисунке: Угол 3 и угол, который является смежным с углом 4, вместе с еще одним углом образуют 180° на нижней прямой.
62. Если две горизонтальные линии параллельны:
63. Угол 1 = 82°. Угол, который является внутренним накрест лежащим к углу 1, будет равен 82°.
64. Угол 3 = 65°.
65. Угол 4 и внутренний накрест лежащий угол к углу 3 вместе составляют 180°. Нет.
66. Угол 4 и угол 3 являются смежными. Нет.
67. Давайте найдем угол, который является смежным с углом 3: $$180^\text{o} - 65^\text{o} = 115^\text{o}$$.
68. Этот угол (115°) и угол 4 являются накрест лежащими.
69. Угол 4 = 115°.
70. Проверим: Если угол 4 = 115°, то смежный с ним угол = 180° - 115° = 65°. Этот угол (65°) и угол 3 (65°) являются внутренними накрест лежащими. Это подтверждает параллельность прямых, образующих углы 3 и 4.
71. Итак, если горизонтальные линии параллельны:
72. Угол 1 = 82°.
73. Угол 2 = 98°.
74. Угол 3 = 65°.
75. Угол 4 = 115°.

Ответ: 115°.

Задача 4:

Дано:

• Прямоугольный треугольник CDE.
• Гипотенуза CE + катет CD = 31 см.
• Гипотенуза CE - катет CD = 3 см.

Найти: Расстояние от вершины C до прямой DE (это длина катета CD).

Решение:

1. Пусть CE = h (гипотенуза), CD = c1 (катет), DE = c2 (катет).
2. По условию:
• $$h + c1 = 31$$
• $$h - c1 = 3$$
3. Это система из двух уравнений с двумя неизвестными.
4. Сложим два уравнения:
5. $$(h + c1) + (h - c1) = 31 + 3$$
6. $$2h = 34$$
7. $$h = 17$$ см (длина гипотенузы CE).
8. Подставим значение h в первое уравнение:
9. $$17 + c1 = 31$$
10. $$c1 = 31 - 17 = 14$$ см (длина катета CD).
11. Расстояние от вершины C до прямой DE — это длина перпендикуляра, опущенного из C на DE. В прямоугольном треугольнике DE — это катет CD.
12. Проверим по теореме Пифагора: $$c1^2 + c2^2 = h^2$$.
13. $$14^2 + c2^2 = 17^2$$
14. $$196 + c2^2 = 289$$
15. $$c2^2 = 289 - 196 = 93$$
16. $$c2 = \text{sqrt}(93)$$ см.
17. Длина катета DE не требуется для ответа, но она существует.

Ответ: 14 см.