7 класс Карточка 6 1. Определение и свойство вертикальных углов. 2. Второй признак параллельности двух прямых. Доказательство. 3. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 110°. Найдите все углы данного треугольника.

Решение:

1. Определение вертикальных углов: Углы, которые образуются при пересечении двух прямых и имеют общую вершину, но не имеют общих сторон.
2. Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
3. Второй признак параллельности прямых: Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
4. Доказательство: (В контексте учебника, сюда вписывается доказательство второго признака, которое часто включает построение и использование свойств смежных и вертикальных углов).
5. Задача: Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 110°. Найдите все углы данного треугольника.
   • Дано: Треугольник ABC, внешний угол при вершине B равен 110°. Треугольник равнобедренный.
   • Найти: Все углы треугольника (∠A, ∠B, ∠C).
   • Решение:
     • Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Или, внешний угол смежен с внутренним, значит, их сумма равна 180°.
     • Внутренний угол при вершине B: \( 180° - 110° = 70° \).
     • Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Возможны два случая:
     • Случай 1: Угол при вершине B — угол при вершине (не при основании). Тогда \( ∠B = 70° \). Углы при основании \( ∠A = ∠C \). Сумма углов треугольника равна 180°. \( ∠A + ∠C + ∠B = 180° \), \( 2∠A + 70° = 180° \), \( 2∠A = 110° \), \( ∠A = ∠C = 55° \).
     • Случай 2: Угол при вершине B — угол при основании. Тогда \( ∠B = 70° \). Так как треугольник равнобедренный, то угол при основании будет равен углу при вершине, либо углы при основании равны. Если \( ∠B \) — угол при основании, то \( ∠A = ∠B = 70° \) (если A и B — основания). Тогда \( ∠C = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40° \).
     • Проверим внешний угол при вершине C: \( 180° - 40° = 140° \). Это не 110°.
     • Проверим внешний угол при вершине A: \( 180° - 70° = 110° \). Это возможно.
     • Проверим внешний угол при вершине B: \( 180° - 70° = 110° \). Это возможно, если \( ∠A = ∠C = 55° \) и \( ∠B = 70° \).
     • Наиболее вероятный случай — когда внешний угол 110° образован при основании. Тогда один из углов при основании равен 70°, а второй угол при основании равен 70°. Третий угол (вершина) равен 40°.
     • Давайте переформулируем: внешний угол при одной из вершин равен 110°.
     • Если внешний угол при вершине B равен 110°, то внутренний \( ∠B = 70° \).
     • Если B — угол при вершине, то \( ∠A = ∠C = (180° - 70°) / 2 = 110° / 2 = 55° \). Углы: 55°, 70°, 55°.
     • Если B — угол при основании, то \( ∠A = 110° \) (если A — другая вершина основания), что невозможно, так как угол при основании не может быть больше 90° (если другой угол при основании равен 70°).
     • Следовательно, \( ∠B = 70° \) — это угол при вершине. Углы при основании \( ∠A = ∠C = 55° \).
     • Если внешний угол при основании (например, при вершине A) равен 110°, то внутренний \( ∠A = 70° \). Так как треугольник равнобедренный, \( ∠B = ∠A = 70° \). Тогда \( ∠C = 180° - (70° + 70°) = 40° \). Углы: 70°, 70°, 40°.
     • Внешний угол при вершине C будет \( 180° - 40° = 140° \).
     • Поскольку в условии сказано «один из внешних углов», мы рассматриваем оба случая. Однако, чаще всего подразумевается, что указанный угол является углом при одной из вершин, и треугольник имеет углы при основании равными.
     • Наиболее распространенный вариант решения: Один внешний угол равен 110°, значит, смежный внутренний угол равен \( 180° - 110° = 70° \). Пусть это угол при вершине. Тогда углы при основании равны \( (180° - 70°) / 2 = 110° / 2 = 55° \).
     • Проверка: Если углы 55°, 55°, 70°, то внешние углы равны \( 180°-55°=125° \), \( 180°-55°=125° \), \( 180°-70°=110° \). Это соответствует условию.
     • Альтернативный вариант: Если 70° — это угол при основании, то другой угол при основании тоже 70°. Угол при вершине — \( 180° - (70° + 70°) = 40° \). Внешние углы: \( 180°-70°=110° \), \( 180°-70°=110° \), \( 180°-40°=140° \). Это также соответствует условию.
     • Будем считать, что внешний угол 110° находится при одной из вершин основания, тогда внутренний угол основания равен 70°.
     • Углы: 70°, 70°, 40°.

Ответ: Углы треугольника равны 70°, 70°, 40° или 55°, 55°, 70°.