7) Костя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 26, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 12, но больше 8. Какие два числа задумал Костя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пусть большее число — \(a\), а меньшее — \(b\). Тогда \(a+b=26\), а разность удовлетворяет условию \(8

1. Так как сумма двух чисел равна 26, числа имеют одинаковую чётность. Поэтому их разность должна быть чётным числом.
2. Чётное число, которое больше 8, но меньше 12, только одно: \(a-b=10\).
3. Составим систему: \(a+b=26\), \(a-b=10\).
4. Сложим уравнения: \(2a=36\), поэтому \(a=18\).
5. Найдём меньшее число: \(b=26-18=8\).
6. Проверка: \(18+8=26\), \(|18-8|=10\), а \(8<10<12\).

Других вариантов нет, потому что возможная разность обязана быть чётной, а единственное чётное число между 8 и 12 — 10.

Ответ: 8 и 18.