7. ΔMPR — правильный. На стороне MP отмечена точка T, причём TR ⟂ MP и TR = 8. Найдите x = PR.

Так как треугольник MPR правильный, его высота TR является также медианой. Поэтому T — середина MP, а треугольник PTR прямоугольный.

В правильном треугольнике все углы равны 60°, следовательно, в треугольнике PTR угол P равен 60°, а угол T — 90°. Это треугольник 30°–60°–90°: катет TR, лежащий напротив угла 60°, равен половине гипотенузы, умноженной на √3.

Обозначим PR = x. Тогда \(8=\frac{x\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\frac{16}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\).

Ответ: \(PR=x=\frac{16\sqrt{3}}{3}\).