7. На доске написаны три двузначных числа. Одно начинается с цифры 5, другое начинается с цифры 6, а последнее начинается с цифры 7. Соня сложила первое и второе число; Марк сложил второе и третье число; Дима сложил третье и первое число. Одна из этих сумм получилась равна 148, а другая — 123. Чему может быть равна третья сумма? Приведите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Обозначим числа через A, B и C: они начинаются соответственно с цифр 5, 6 и 7. Тогда A находится от 50 до 59, B — от 60 до 69, C — от 70 до 79.

1. Сумма A + B не больше 59 + 69 = 128, а сумма A + C не больше 59 + 79 = 138. Значит, сумма 148 может быть только B + C.

2. Так как B ≤ 69 и C ≤ 79, равенство B + C = 148 возможно только при B = 69 и C = 79.

3. Сумма 123 не может быть B + C, поскольку она уже равна 148. Она не может быть и A + C, потому что при C = 79 для этого потребовалось бы A = 44, а число A начинается с цифры 5. Следовательно, A + B = 123, откуда A = 54.

4. Третья сумма равна A + C = 54 + 79 = 133. Полученные числа удовлетворяют всем условиям, поэтому этот вариант возможен; предыдущие рассуждения исключают любые другие.

Ответ: 133.