7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найди высоту, проведённую из вершины А к стороне ВС.

1. Определим координаты вершин треугольника: А(2, 1), В(0, 4), С(5, 3).

2. Найдем длину стороны ВС, используя формулу расстояния между двумя точками: $$BC = \sqrt{(5-0)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$.

3. Найдем площадь треугольника АВС, используя определитель: $$S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))| = \frac{1}{2} |(2(4 - 3) + 0(3 - 1) + 5(1 - 4))| = \frac{1}{2} |(2 + 0 - 15)| = \frac{1}{2} |-13| = 6.5$$.

4. Используем формулу площади треугольника $$S = \frac{1}{2} \times основание \times высота$$. Высота $$h_A$$ к стороне ВС: $$h_A = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 6.5}{\sqrt{26}} = \frac{13}{\sqrt{26}} = \frac{13\sqrt{26}}{26} = \frac{\sqrt{26}}{2}$$.