7 На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 нарисованы два четырехугольника: ABCD и ADEF. Найдите разность периметров четырёхугольников ABCD и ADEF. Ответ:

Решение:

Сначала определим координаты вершин четырехугольников, считая, что каждая клетка - это 1 единица.

Четырехугольник ABCD:

• A: (1, 3)
• B: (4, 4)
• C: (4, 1)
• D: (1, 0)

Длина сторон ABCD:

• AB = √((4-1)² + (4-3)²) = √(3² + 1²) = √(9 + 1) = √10
• BC = √((4-4)² + (1-4)²) = √(0² + (-3)²) = √(0 + 9) = 3
• CD = √((1-4)² + (0-1)²) = √((-3)² + (-1)²) = √(9 + 1) = √10
• DA = √((1-1)² + (3-0)²) = √(0² + 3²) = √(0 + 9) = 3

Периметр ABCD: P_ABCD = AB + BC + CD + DA = √10 + 3 + √10 + 3 = 6 + 2√10

Четырехугольник ADEF:

• A: (1, 3)
• D: (1, 0)
• E: (0, 0)
• F: (0, 3)

Длина сторон ADEF:

• AD = 3 (уже посчитано)
• DE = √((0-1)² + (0-0)²) = √((-1)² + 0²) = √(1 + 0) = 1
• EF = √((0-0)² + (3-0)²) = √(0² + 3²) = √(0 + 9) = 3
• FA = √((1-0)² + (3-3)²) = √(1² + 0²) = √(1 + 0) = 1

Периметр ADEF: P_ADEF = AD + DE + EF + FA = 3 + 1 + 3 + 1 = 8

Разность периметров:

Разность = P_ADEF - P_ABCD = 8 - (6 + 2√10) = 8 - 6 - 2√10 = 2 - 2√10

Значение √10 примерно равно 3.16.

Разность ≈ 2 - 2 * 3.16 = 2 - 6.32 = -4.32

Если под разностью подразумевается абсолютное значение, то |2 - 2√10| = 2√10 - 2.

В задании не указано, какой периметр из какого вычитать, поэтому возьмем положительное значение разности. Для большей ясности, рассчитаем длины сторон с помощью теоремы Пифагора, где каждая клетка имеет сторону 1.

Четырехугольник ABCD:

• Сторона AD = 3 клетки.
• Сторона AB = √(3² + 1²) = √{10} клеток.
• Сторона BC = 3 клетки.
• Сторона CD = √(3² + 1²) = √{10} клеток.
• Периметр ABCD = 3 + √{10} + 3 + √{10} = 6 + 2√{10}.

Четырехугольник ADEF:

• Сторона AD = 3 клетки.
• Сторона DE = 1 клетка.
• Сторона EF = 3 клетки.
• Сторона FA = 1 клетка.
• Периметр ADEF = 3 + 1 + 3 + 1 = 8 клеток.

Разность периметров:

Разность = |Периметр ADEF - Периметр ABCD| = |8 - (6 + 2√{10})| = |2 - 2√{10}|

Поскольку 2√{10} > 2, то разность равна 2√{10} - 2.

Ответ: 2√{10} - 2