7. На рисунке 14 отмечено 13 точек. Как расположить все эти точки на 4 прямых?

Расположим точки в виде трёх прямых, пересекающихся в одной точке: на каждой прямой отметим по четыре точки, считая общую точку пересечения. Тогда всего получится 1 + 3 · 3 = 10 точек — этого недостаточно.

Вместо этого используем конфигурацию из четырёх прямых, где каждая пара пересекается в отдельной точке. Это даёт 6 точек пересечения; добавим на каждой прямой ещё по две точки, не лежащие на других прямых: 6 + 4 · 2 = 14, что на одну точку больше требуемого.

Подходящая конфигурация: три параллельные прямые и одна секущая, пересекающая каждую из них. На каждой параллельной прямой расположим по 3 точки, а на секущей — 4 точки, считая три точки пересечения. Всего будет 3 · 3 + 1 = 10 точек, поэтому этот вариант также не подходит.

Для четырёх прямых максимум точек, если никакие три не проходят через одну точку, равен 6 точкам пересечения. Чтобы получить 13 точек, добавим на прямые отдельные точки так, чтобы суммарное число различных точек стало 13. Например, возьмём четыре прямые, из которых три параллельны, а четвёртая пересекает их. На каждой из трёх параллельных прямых отметим по 4 точки, включая точку пересечения с секущей, и на секущей добавим одну точку вне пересечений. Получится 3 · 4 + 1 = 13 точек.

Но при этом на секущей лежат три точки пересечения и ещё одна дополнительная — всего четыре. Значит, все 13 точек расположены на четырёх прямых.

Ответ: расположить три параллельные прямые и пересечь их четвёртой; на каждой параллельной прямой отметить по четыре точки, включая пересечение, а на четвёртой — только три точки пересечения и ещё одну дополнительную. Всего 13 точек.