7. На рисунке 38 изображен параллелограмм ABCD. AM = CP, BN = DK. Докажите, что четырехугольник MNPK — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: ABCD — параллелограмм, AM = CP, BN = DK.

Доказать: MNPK — параллелограмм.

Доказательство:

1. 1) Так как ABCD — параллелограмм, то по свойствам параллелограмма:
• \(\angle A = \angle C\)
• \(\angle B = \angle D\)
• \(AB = CD\)
• \(BC = AD\)
2. По условию AM = CP, BN = DK.
3. Тогда BM = AB - AM и DP = CD - CP.
4. Поскольку \(AB = CD\) и \(AM = CP\), то \(AB - AM = CD - CP\), следовательно, BM = DP.
5. Аналогично, AN = AB - BN и CK = CD - DK.
6. Поскольку \(AB = CD\) и \(BN = DK\), то \(AB - BN = CD - DK\), следовательно, AN = CK.
7. Рассмотрим треугольники \(\triangle AMN\) и \(\triangle CPK\):
• \(AM = CP\) (по условию)
• \(\\$$AN = CK\\[/code]
• \(\\$$A = \\angle C\\[/code]
Краткое пояснение: Для доказательства того, что четырехугольник MNPK является параллелограммом, мы воспользуемся свойствами параллелограмма ABCD и равенством треугольников, чтобы показать, что противоположные стороны MNPK параллельны и равны.

Доказательство:

Дано: ABCD — параллелограмм, AM = CP, BN = DK.

Доказать: MNPK — параллелограмм.

Доказательство:

1. 1) Так как ABCD — параллелограмм, то по свойствам параллелограмма:
• \(\angle A = \angle C\)
• \(\angle B = \angle D\)
• \(AB = CD\)
• \(BC = AD\)
2. По условию AM = CP, BN = DK.
3. Тогда BM = AB - AM и DP = CD - CP.
4. Поскольку \(AB = CD\) и \(AM = CP\), то \(AB - AM = CD - CP\), следовательно, BM = DP.
5. Аналогично, AN = AB - BN и CK = CD - DK.
6. Поскольку \(AB = CD\) и \(BN = DK\), то \(AB - BN = CD - DK\), следовательно, AN = CK.
7. Рассмотрим треугольники \(\triangle AMN\) и \(\triangle CPK\):
• \(AM = CP\) (по условию)
• \(AN = CK\) (доказано выше)
• \(\angle A = \angle C\) (свойство параллелограмма)
8. По двум сторонам и углу между ними (СУС), \(\triangle AMN = \triangle CPK\). Следовательно, MN = PK.
9. Рассмотрим треугольники \(\triangle BMN\) и \(\triangle DPK\):
• \(BM = DP\) (доказано выше)
• \(BN = DK\) (по условию)
• \(\angle B = \angle D\) (свойство параллелограмма)
10. По двум сторонам и углу между ними (СУС), \(\triangle BMN = \triangle DPK\). Следовательно, BN = DK. (Это условие уже дано, но подтверждает равенство треугольников). Следовательно, MN = PK. (Опять же, MN = PK).
11. Из равенства треугольников △AMN = △CPK следует, что MN = PK.
12. Из равенства треугольников △BMN = △DPK следует, что MN = PK.
13. Таким образом, мы показали, что \(MN = PK\).
14. Теперь покажем, что \(NP = MK\).
15. Рассмотрим \(\\$$NP\\[/code]