7 На рисунке представлен график производной y = f'(x) функции f(х), определённой на промежутке (-5; 4). Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому приведённому множеству значений х соответствующую характеристику функции f(х).

Решение:

На графике изображена производная функции \( f'(x) \). Знак производной определяет характер монотонности исходной функции \( f(x) \):

• Если \( f'(x) > 0 \) на интервале, то \( f(x) \) возрастает на этом интервале.
• Если \( f'(x) < 0 \) на интервале, то \( f(x) \) убывает на этом интервале.
• Если \( f'(x) = 0 \), то в этой точке может быть локальный экстремум (минимум или максимум) или точка перегиба.

Рассмотрим значения \( x \) и поведение \( f(x) \) на основе графика \( f'(x) \):

• Интервал (-5; -3): На этом интервале \( f'(x) > 0 \) (график производной находится выше оси x). Следовательно, функция \( f(x) \) возрастает.
• Точка x = -3: \( f'(-3) = 0 \). Это критическая точка. Так как слева от -3 \( f'(x) > 0 \), а справа \( f'(x) < 0 \), то в точке \( x = -3 \) функция \( f(x) \) имеет максимум.
• Интервал (-3; 1): На этом интервале \( f'(x) < 0 \) (график производной находится ниже оси x). Следовательно, функция \( f(x) \) убывает.
• Точка x = 1: \( f'(1) = 0 \). Это критическая точка. Так как слева от 1 \( f'(x) < 0 \), а справа \( f'(x) > 0 \), то в точке \( x = 1 \) функция \( f(x) \) имеет минимум.
• Интервал (1; 4): На этом интервале \( f'(x) > 0 \) (график производной находится выше оси x). Следовательно, функция \( f(x) \) возрастает.

Соответствие:

• При x ∈ (-5; -3): \( f(x) \) возрастает.
• При x = -3: \( f(x) \) имеет максимум.
• При x ∈ (-3; 1): \( f(x) \) убывает.
• При x = 1: \( f(x) \) имеет минимум.
• При x ∈ (1; 4): \( f(x) \) возрастает.

Ответ: Для интервала (-5; -3) — возрастает, для точки x = -3 — максимум, для интервала (-3; 1) — убывает, для точки x = 1 — минимум, для интервала (1; 4) — возрастает.