7. На рисунке равнобедренная трапеция ABCD: BC = 5, AD = 15, боковые стороны AB и CD равны; диагонали AC и BD перпендикулярны. CE ⟂ AD. Дано: AD = 15. Найти: CE.

Обозначим высоту трапеции через h = CE, а горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны — через x. В равнобедренной трапеции основания расположены симметрично, поэтому x = (15 − 5) / 2 = 5.

Расположим вершины в координатах: A(0, 0), D(15, 0), B(5, h), C(10, h). Тогда направляющие векторы диагоналей AC и BD равны (10, h) и (10, −h). Перпендикулярность диагоналей означает, что их скалярное произведение равно нулю:

10 · 10 − h² = 0, откуда h² = 100 и, поскольку высота положительна, h = 10.

Ответ: CE = 10.