7. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 1215. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?

Если НОД двух чисел равен одному из них, то это число делит второе. Пусть числа равны a и ak, где k — натуральное число и k ≥ 1.

Тогда их произведение равно a²k = 1215. Разложим произведение на простые множители: 1215 = 3⁵ · 5.

Чтобы a было как можно больше, его квадрат должен делить 1215. В разложении 1215 наибольший квадратный делитель — 3⁴ = 81; множитель 5 нельзя включить в квадрат.

Пара 81 и 15 не подходит, поскольку 81 не делит 15. Но для меньшего числа a = 15 получаем второе число 1215 ÷ 15 = 81; НОД(15, 81) = 3, а не 15. Значит, нужно учитывать, что меньший делитель должен сам быть НОДом: числа имеют вид d и dk, причём НОД(d, dk) = d, а условие произведения даёт d²k = 1215. Максимальное возможное d — квадратный делитель 1215, то есть 81, однако при нём k = 1215 ÷ 81² не является целым. Следующий подходящий квадратный делитель — 9: тогда k = 1215 ÷ 9² = 15, и числа 9 и 135 имеют НОД 9.

Ответ: 9