7. Настижение как площадь между двумя графиками скорости. В момент t = 0 первый автомобиль находится в x = D и движется со скоростью u, второй — в x = 0 и движется со скоростью w > u. Скорости постоянны, направление положительное. а) Постройте оба x(t) и оба v(t). б) Выделите полосу между линиями v₁(t), v₂(t) от начала наблюдения до произвольного момента t до встречи. Подпишите высоту и ширину полосы. Вычислите её площадь и сопоставьте с сокращением расстояния между автомобилями. в) Пусть t — время от начала наблюдения до выбранного момента перед встречей. Получите формулу оставшегося расстояния через D, u, w, t. г) Постройте график скорости второго автомобиля относительно первого: vотн(t) = v₂(t) − v₁(t). Выделите площадь под vотн(t) от начала наблюдения до встречи. Приравняйте эту площадь первоначальному расстоянию D и составьте уравнение для времени встречи. д) Получите время встречи и её координату через заданные величины. е) Для w = u запишите координаты обоих автомобилей и расстояние между ними. Проверьте наличие встречи при D > 0.

Координаты автомобилей: x₁(t) = D + ut и x₂(t) = wt. Скорости постоянны: v₁(t) = u, v₂(t) = w.

Графики координат:

Графики скорости и полоса между ними до произвольного момента t перед встречей:

Высота полосы равна w − u, ширина — t. Её площадь равна (w − u)t. По смыслу это пройденное вторым автомобилем расстояние за вычетом пройденного первым; на такую величину сокращается первоначальный промежуток D.

Оставшееся расстояние до встречи: D − (w − u)t. При встрече оно становится равным нулю.

Относительная скорость постоянна: vотн(t) = v₂(t) − v₁(t) = w − u. Её график — горизонтальная прямая; площадь под ней от 0 до tвстр является прямоугольником с высотой w − u и шириной tвстр. При встрече эта площадь равна начальному расстоянию: (w − u)tвстр = D.

Отсюда tвстр = D/(w − u). Координата встречи находится подстановкой в координату второго автомобиля: xвстр = wtвстр = wD/(w − u).

Если w = u, то x₁(t) = D + ut, x₂(t) = ut. Расстояние между автомобилями остаётся равным D. При D > 0 встреча не происходит.

Ответ: при w > u время встречи равно D/(w − u), координата встречи — wD/(w − u); при w = u и D > 0 встречи нет.