7. Найдите объем конуса, полученного в результате вращения во- круг большего катета прямоугольного треугольника с гипотену- зой, равной 2√6 см, и углом 30°.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Гипотенуза \( AB = 2\sqrt{6} \) см, \( \angle A = 30^{\circ} \). Конус получен вращением вокруг большего катета, то есть вокруг катета BC.

В данном случае:

• Высота конуса \( h = BC \)
• Радиус основания конуса \( r = AC \)
• Гипотенуза \( c = AB = 2\sqrt{6} \) см.

Найдем катеты:

• \( BC = AB \sin A = 2\sqrt{6} \sin 30^{\circ} = 2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{6} \) см. Это высота конуса \( h \).
• \( AC = AB \cos A = 2\sqrt{6} \cos 30^{\circ} = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) см. Это радиус конуса \( r \).

Больший катет — это \( BC = \sqrt{6} \) см, так как \( \sqrt{6} \approx 2.45 \) и \( 3\sqrt{2} \approx 4.24 \). Следовательно, вращение происходит вокруг катета AC, а BC является радиусом. Значит, мы должны были вращать вокруг катета AC, так как он больше.

Пересчитаем, вращая вокруг большего катета AC:

Тогда высота конуса \( h = AC = 3\sqrt{2} \) см, а радиус основания \( r = BC = \sqrt{6} \) см.

Объем конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

Подставим значения:

• \( r^2 = (\sqrt{6})^2 = 6 \)
• \( h = 3\sqrt{2} \)

\( V = \frac{1}{3}\pi \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} \) см³

\( V = \frac{18\sqrt{2}}{3}\pi \) см³

\( V = 6\sqrt{2}\pi \) см³

Ответ: \( 6\sqrt{2}\pi \) см³.