7. Найдите площадь поверхности параллелепипеда объёмом 8, вписанного в сферу радиусом \(\sqrt{3}\).

Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равны \(a,b,c\). Условие «вписан в сферу» означает, что пространственная диагональ равна диаметру сферы:

\(a^2+b^2+c^2=(2\sqrt{3})^2=12\).

Из объёма известно только, что \(abc=8\). Этого недостаточно, чтобы однозначно найти площадь поверхности \(S=2(ab+bc+ca)\).

Например, куб со стороной 2 имеет объём 8 и пространственную диагональ \(2\sqrt{3}\), поэтому вписан в указанную сферу; его площадь поверхности равна 24.

Но возможен и параллелепипед с рёбрами \(1,2,4\): его объём также равен 8, а пространственная диагональ равна \(\sqrt{21}\), поэтому он не вписан в сферу радиуса \(\sqrt{3}\). Следовательно, для прямоугольного параллелепипеда условие действительно накладывает дополнительное ограничение, но не задаёт рёбра однозначно. Например, при \(a=b=t\) и \(c=8/t^2\) условие диагонали приводит к \(2t^2+64/t^4=12\), у которого есть различные положительные решения, дающие разные площади.

Таким образом, указанных данных недостаточно для единственного ответа. Нужно дополнительное условие, например что параллелепипед является кубом.