7. Найдите такое наименьшее натуральное значение числа n, при котором число 2160 · n будет полным квадратом, а число 36 · n — полным кубом. A) 6000 B) 60 C) 600 D) 750

Разложим постоянные множители на простые множители: \(2160=2^4\cdot3^3\cdot5\), \(36=2^2\cdot3^2\).

Чтобы \(2160n\) было квадратом, показатели простых множителей должны быть чётными. Чтобы \(36n\) было кубом, показатели должны делиться на 3.

Для множителя 2 показатель в \(n\) должен быть чётным и давать при прибавлении 2 число, кратное 3; наименьший такой показатель — 4. Для 3 он должен быть нечётным и давать при прибавлении 2 число, кратное 3; наименьший показатель — 1. Для 5 показатель должен быть нечётным для квадрата и кратным 3 для куба; наименьший — 3.

Следовательно, \(n=2^4\cdot3\cdot5^3=6000\).

Ответ: A) 6000.