7. Найдите трёхзначное число, в записи которого цифра сотен на 3 больше цифры десятков, а произведение трёх чисел, выражаемых цифрами этого числа, равно 4. а) Какими цифрами может быть записано искомое число?

Решение:

Обозначим трёхзначное число как \( \overline{abc} \), где \( a \) — цифра сотен, \( b \) — цифра десятков, \( c \) — цифра единиц.

По условию задачи:

1. Цифра сотен на 3 больше цифры десятков: \( a = b + 3 \).
2. Произведение цифр равно 4: \( a \cdot b \cdot c = 4 \).

Учитывая, что \( a \) и \( b \) — цифры, а \( a = b + 3 \), переберём возможные значения для \( b \):

• Если \( b = 0 \), то \( a = 0 + 3 = 3 \). Тогда \( 3 \cdot 0 \cdot c = 0 \), что не равно 4.
• Если \( b = 1 \), то \( a = 1 + 3 = 4 \). Тогда \( 4 \cdot 1 \cdot c = 4 \), откуда \( 4c = 4 \), значит, \( c = 1 \). Число: 411.
• Если \( b = 2 \), то \( a = 2 + 3 = 5 \). Тогда \( 5 \cdot 2 \cdot c = 4 \), откуда \( 10c = 4 \), \( c = 0.4 \). Цифра \( c \) не может быть дробной.
• Если \( b = 3 \), то \( a = 3 + 3 = 6 \). Тогда \( 6 \cdot 3 \cdot c = 4 \), откуда \( 18c = 4 \), \( c = 4/18 \). Цифра \( c \) не может быть дробной.
• Если \( b = 4 \), то \( a = 4 + 3 = 7 \). Тогда \( 7 \cdot 4 \cdot c = 4 \), откуда \( 28c = 4 \), \( c = 4/28 \). Цифра \( c \) не может быть дробной.
• Если \( b = 5 \), то \( a = 5 + 3 = 8 \). Тогда \( 8 \cdot 5 \cdot c = 4 \), откуда \( 40c = 4 \), \( c = 4/40 \). Цифра \( c \) не может быть дробной.
• Если \( b = 6 \), то \( a = 6 + 3 = 9 \). Тогда \( 9 \cdot 6 \cdot c = 4 \), откуда \( 54c = 4 \), \( c = 4/54 \). Цифра \( c \) не может быть дробной.

Дальнейшее увеличение \( b \) приведет к \( a > 9 \), что невозможно для цифры.

Таким образом, единственное возможное сочетание цифр — \( a=4, b=1, c=1 \).

Ответ: Цифрами могут быть 4, 1, 1.