7. Найдите значение числового выражения: a) 4 7/15 - (14/25 - 1/3) + 6 2/35 б) \(\sqrt{6}\) (15 1/3 + 4 7/8) - (2 5/6 - 8/9)

Решение:

а) \( 4\frac{7}{15} - (\frac{14}{25} - \frac{1}{3}) + 6\frac{2}{35} \)

1. Приведём смешанные числа к неправильным дробям:


• \( 4\frac{7}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{60 + 7}{15} = \frac{67}{15} \)
• \( 6\frac{2}{35} = \frac{6 \cdot 35 + 2}{35} = \frac{210 + 2}{35} = \frac{212}{35} \)


2. Вычтем дроби во второй скобке:


• \( \frac{14}{25} - \frac{1}{3} \)
• Общий знаменатель — 75.
• \( \frac{14 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 25}{3 \cdot 25} = \frac{42}{75} - \frac{25}{75} = \frac{17}{75} \)


3. Выполним вычитание и сложение:


• \( \frac{67}{15} - \frac{17}{75} + \frac{212}{35} \)
• Общий знаменатель — 525.
• \( \frac{67 \cdot 35}{15 \cdot 35} - \frac{17 \cdot 7}{75 \cdot 7} + \frac{212 \cdot 15}{35 \cdot 15} = \frac{2345}{525} - \frac{119}{525} + \frac{3180}{525} = \frac{2345 - 119 + 3180}{525} = \frac{5406}{525} \)


4. Преобразуем в смешанное число:


• \( 5406 \div 525 = 10 \) с остатком \( 5406 - 10 \cdot 525 = 5406 - 5250 = 156 \)
• \( \frac{5406}{525} = 10\frac{156}{525} \)
• Сократим дробь \( \frac{156}{525} \) на 3: \( \frac{156 \div 3}{525 \div 3} = \frac{52}{175} \)
• \( 10\frac{52}{175} \)

б) \( \sqrt{6}\left(15\frac{1}{3} + 4\frac{7}{8}\right) - \left(2\frac{5}{6} - \frac{8}{9}\right) \)

1. Приведём смешанные числа к неправильным дробям:


• \( 15\frac{1}{3} = \frac{15 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{45 + 1}{3} = \frac{46}{3} \)
• \( 4\frac{7}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{32 + 7}{8} = \frac{39}{8} \)
• \( 2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{12 + 5}{6} = \frac{17}{6} \)


2. Сложим дроби в первой скобке:


• \( \frac{46}{3} + \frac{39}{8} \)
• Общий знаменатель — 24.
• \( \frac{46 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{39 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{368}{24} + \frac{117}{24} = \frac{485}{24} \)


3. Вычтем дроби во второй скобке:


• \( \frac{17}{6} - \frac{8}{9} \)
• Общий знаменатель — 18.
• \( \frac{17 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{51}{18} - \frac{16}{18} = \frac{35}{18} \)


4. Выполним умножение и вычитание:


• \( \sqrt{6} \cdot \frac{485}{24} - \frac{35}{18} \)
• \( \frac{\sqrt{6} \cdot 485}{24} - \frac{35}{18} \)
• Общий знаменатель — 72.
• \( \frac{\sqrt{6} \cdot 485 \cdot 3}{24 \cdot 3} - \frac{35 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{1455\sqrt{6}}{72} - \frac{140}{72} = \frac{1455\sqrt{6} - 140}{72} \)

Ответ: а) \( 10\frac{52}{175} \); б) \( \frac{1455\sqrt{6} - 140}{72} \).