7. Найдите значение выражения $$b^{-18} \cdot (2b^3)^4$$ при $$b = -0.5$$.

Решение:

1. Упростим выражение:

   Сначала раскроем скобки:

   $$\( (2b^3)^4 = 2^4 \cdot (b^3)^4 = 16 \cdot b^{3 \times 4} = 16 b^{12} \)$$

   Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

   $$\ (b^{-18} \cdot 16 b^{12}) \)$$

   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

   $$\ (16 \cdot b^{-18 + 12} = 16 b^{-6}) \)$$

   Можно записать отрицательную степень как дробь:

   $$\ (16 \cdot \frac{1}{b^6} = \frac{16}{b^6}) \)$$

2. Подставим значение $$b = -0.5$$:

   $$b = -0.5 = -\frac{1}{2}$$

   Теперь вычислим $$b^6$$:

   $$\ (b^6 = (-0.5)^6 = (-\frac{1}{2})^6 \)$$

   При возведении отрицательного числа в четную степень результат положительный:

   $$\ ((-\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}) \)$$

3. Найдем значение всего выражения:

   $$\ (\frac{16}{b^6} = \frac{16}{\frac{1}{64}}) \)$$

   Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:

   $$\ (16 \cdot 64) \)$$

   Вычислим произведение:

   $$16 \times 64 = 1024$$

Ответ: 1024