7. Найдите значение выражения $$\frac{12 \sin 11^{\circ} \cdot \cos 11^{\circ}}{\sin 22^{\circ}}$$

Решение:

Для решения данного выражения воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).

1. Преобразуем числитель дроби, используя эту формулу. У нас есть \( \sin 11^{\circ} \cdot \cos 11^{\circ} \). Чтобы применить формулу, умножим и разделим на 2: \( 12 \sin 11^{\circ} \cdot \cos 11^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} (2 \sin 11^{\circ} \cos 11^{\circ}) = 6 \cdot \sin(2 \cdot 11^{\circ}) = 6 \sin 22^{\circ} \).
2. Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь: \[ \frac{6 \sin 22^{\circ}}{\sin 22^{\circ}} \]
3. Сократим \( \sin 22^{\circ} \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{6 \cancel{\sin 22^{\circ}}}{\cancel{\sin 22^{\circ}}} = 6 \]

Ответ: 6