7. Найдите значение выражения \(\frac{\log_2 12,8 - \log_2 0,8}{5^{\log_{25} 16}}\)

Решение:

Рассмотрим числитель дроби: \(\log_2 12,8 - \log_2 0,8\)

По свойству логарифмов \(\log_b M - \log_b N = \log_b \frac{M}{N}\), получим:

\(\log_2 \frac{12,8}{0,8} = \log_2 \frac{128}{8} = \log_2 16\)

Так как \(2^4 = 16\), то \(\log_2 16 = 4\).

Теперь рассмотрим знаменатель дроби: \(5^{\log_{25} 16}\)

Используем свойство логарифма \(\log_{b^k} M = \frac{1}{k} \log_b M\). Так как \(25 = 5^2\), то \(\log_{25} 16 = \log_{5^2} 16 = \frac{1}{2} \log_5 16\).

Знаменатель равен: \(5^{\frac{1}{2} \log_5 16}\)

Используя свойство \(a^{\log_a M} = M\), преобразуем выражение:

\(5^{\frac{1}{2} \log_5 16} = (5^{\log_5 16})^{\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\).

Теперь подставим найденные значения числителя и знаменателя в исходное выражение:

\(\frac{4}{4} = 1\).

Ответ: \(1\).