7. Найдите значение выражения loga(ab³), если logb a = 1/7.

Решение:

Нам нужно найти значение выражения \( \log_a(ab^3) \), зная, что \( \log_b a = \frac{1}{7} \).

1. Воспользуемся свойством логарифма \( \log_c(MN) = \log_c M + \log_c N \): \( \log_a(ab^3) = \log_a a + \log_a b^3 \).
2. Применим свойство \( \log_c c = 1 \): \( \log_a a = 1 \).
3. Применим свойство \( \log_c M^k = k \log_c M \): \( \log_a b^3 = 3 \log_a b \).
4. Теперь наше выражение выглядит так: \( 1 + 3 \log_a b \).
5. Нам дано \( \log_b a = \frac{1}{7} \). Используем свойство смены основания логарифма \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \).
6. Подставим известное значение: \( \log_a b = \frac{1}{\frac{1}{7}} = 7 \).
7. Теперь подставим найденное значение \( \log_a b \) в наше выражение: \( 1 + 3 \cdot 7 = 1 + 21 = 22 \).

Ответ: 22.