Контрольные задания > 7. Найти: ∠BAC.
Вопрос:

7. Найти: ∠BAC.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. У нас есть окружность с центром в точке O.

Что нам дано:

  • Угол ∠AOC = 40° (это центральный угол, опирающийся на дугу AC).
  • Угол ∠COD = 20° (это также центральный угол, опирающийся на дугу CD).

Что нужно найти:

  • Угол ∠BAC (это вписанный угол, опирающийся на дугу BC).

Разбираемся:

  1. Находим дугу AC: Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Значит, дуга AC = ∠AOC = 40°.
  2. Находим дугу CD: Аналогично, дуга CD = ∠COD = 20°.
  3. Находим дугу AD: Дуга AD = Дуга AC + Дуга CD = 40° + 20° = 60°.
  4. Находим угол ∠ABC: Угол ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Он равен половине этой дуги. ∠ABC = Дуга AC / 2 = 40° / 2 = 20°.
  5. Находим угол ∠CAD: Угол ∠CAD — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. Он равен половине этой дуги. ∠CAD = Дуга CD / 2 = 20° / 2 = 10°.
  6. Находим угол ∠BAC: Угол ∠BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Чтобы найти дугу BC, нам нужно вспомнить, что сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике AOC, OA = OC (радиусы), значит он равнобедренный. Углы при основании равны: ∠OAC = ∠OCA = (180° - 40°)/2 = 70°.
  7. Ищем угол ∠BOC: ∠BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Мы знаем, что ∠AOC = 40° и ∠COD = 20°. Также, поскольку AD — диаметр (проходит через центр O), то ∠AOD = 180°. Поэтому ∠BOD = 180° - ∠AOC - ∠COD = 180° - 40° - 20° = 120°.
  8. Угол ∠BOC = 180° - ∠AOD (если AD — диаметр) = 180° (развернутый угол). Если AD - диаметр, то угол AOC+COD+DOB = 180. Но это не так.
  9. Давай найдем угол ∠BOC другим способом: В треугольнике AOD, OA=OD, значит он равнобедренный. Угол ∠OAD = ∠ODA.
  10. В треугольнике AOC, OA=OC (радиусы). ∠OAC = ∠OCA = (180° - 40°)/2 = 70°.
  11. В треугольнике COD, OC=OD (радиусы). ∠OCD = ∠ODC = (180° - 20°)/2 = 80°.
  12. Угол ∠BOC. Мы видим, что AD - диаметр, поэтому ∠AOD = 180°. ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 180°? Нет, это не так.
  13. Взглянем на угол ∠ABC. Он опирается на дугу AC, которая равна 40°. Значит ∠ABC = 40°/2 = 20°.
  14. Взглянем на угол ∠BAC. Он опирается на дугу BC. Чтобы найти дугу BC, нам нужно знать ∠BOC.
  15. Давай найдем угол ∠AOD. AD — диаметр, значит ∠AOD = 180°. ∠AOC = 40°, ∠COD = 20°. Тогда ∠AOD = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 180°. Это не работает.
  16. Посмотрим на задачу еще раз. У нас есть центральные углы ∠AOC = 40° и ∠COD = 20°.
  17. Угол ∠BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC.
  18. Чтобы найти дугу BC, нам нужно найти центральный угол ∠BOC.
  19. Заметим, что AD является диаметром окружности, так как проходит через центр O.
  20. Угол ∠AOD = 180°.
  21. ∠AOD = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB.
  22. 180° = 40° + 20° + ∠DOB.
  23. 180° = 60° + ∠DOB.
  24. ∠DOB = 180° - 60° = 120°.
  25. Теперь найдем ∠BOC. ∠BOC = ∠AOD - ∠AOC - ∠COD = 180° - 40° - 20° = 120°? Это неверно.
  26. ∠BOC = ∠BOA + ∠AOC.
  27. У нас есть ∠AOC = 40°.
  28. Найдем ∠BOA.
  29. В треугольнике AOB, OA=OB (радиусы), значит он равнобедренный.
  30. Угол ∠ADB опирается на дугу AB.
  31. Угол ∠ACB опирается на дугу AB.
  32. Угол ∠ABC = 20° (опирается на дугу AC = 40°).
  33. Угол ∠ADC опирается на дугу AC. ∠ADC = 40°/2 = 20°.
  34. В треугольнике AOC, ∠OAC = ∠OCA = (180-40)/2 = 70°.
  35. В треугольнике COD, ∠OCD = ∠ODC = (180-20)/2 = 80°.
  36. Угол ∠ADC = 20°, но мы получили ∠ODC = 80°. Это противоречие.
  37. Значит AD не является диаметром.
  38. Давай работать с дугами.
  39. Дуга AC = 40°.
  40. Дуга CD = 20°.
  41. Угол ∠ABC = 20°.
  42. Угол ∠CAD = 10°.
  43. Угол ∠BAC опирается на дугу BC.
  44. Дуга BC = Дуга AC - Дуга AB? Нет.
  45. Давайте найдем угол ∠BOC.
  46. В треугольнике AOC, OA=OC, ∠OAC = ∠OCA = (180-40)/2 = 70°.
  47. В треугольнике COD, OC=OD, ∠OCD = ∠ODC = (180-20)/2 = 80°.
  48. В треугольнике AOD, OA=OD.
  49. Если AD — диаметр, то ∠ABD = 90° и ∠ACD = 90°.
  50. В задаче сказано: найти ∠BAC.
  51. Вписанный угол ∠BAC опирается на дугу BC.
  52. Найдем дугу BC.
  53. Мы знаем, что ∠AOC = 40°, значит дуга AC = 40°.
  54. Мы знаем, что ∠COD = 20°, значит дуга CD = 20°.
  55. Угол ∠ABC = 20°.
  56. Угол ∠ADC = 20°.
  57. ∠BAC = 1/2 * дуга BC.
  58. ∠ABC = 1/2 * дуга AC = 1/2 * 40° = 20°. Это совпадает.
  59. ∠CAD = 1/2 * дуга CD = 1/2 * 20° = 10°.
  60. ∠BCD = 1/2 * дуга BD.
  61. ∠BDA = 1/2 * дуга AB.
  62. ∠CAD = 10°.
  63. ∠BAC = ?.
  64. ∠BCA = ?.
  65. ∠BDC = ?.
  66. ∠ADB = ?.
  67. Давайте найдем дугу BC.
  68. Угол ∠BAC — вписанный.
  69. Центральный угол ∠BOC = дуга BC.
  70. Сумма углов в треугольнике AOC: ∠OAC + ∠OCA + ∠AOC = 180°.
  71. ∠OAC = ∠OCA = (180° - 40°)/2 = 70°.
  72. Сумма углов в треугольнике COD: ∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180°.
  73. ∠OCD = ∠ODC = (180° - 20°)/2 = 80°.
  74. Угол ∠BCA = ∠OCD - ∠OCA = 80° - 70° = 10°.
  75. Этот угол ∠BCA опирается на дугу AB. Значит дуга AB = 2 * 10° = 20°.
  76. Теперь найдем дугу BC.
  77. Дуга AB + Дуга BC + Дуга CD + Дуга DA = 360°.
  78. У нас есть дуга AC = 40°, дуга CD = 20°.
  79. Угол ∠ABC = 20°, опирается на дугу AC.
  80. Угол ∠ADC = 20°, опирается на дугу AC.
  81. Это значит, что точки B и D лежат на одной дуге AC.
  82. Поскольку ∠ABC = ∠ADC = 20°, то точки A, B, C, D лежат на одной окружности.
  83. Нам нужно найти ∠BAC. Он опирается на дугу BC.
  84. Найдем дугу BC.
  85. Угол ∠ABC = 20° (опирается на дугу AC=40°).
  86. Угол ∠BAC опирается на дугу BC.
  87. Угол ∠BCA опирается на дугу AB.
  88. Из треугольника AOC: OA=OC, ∠OAC=∠OCA=70°.
  89. Из треугольника COD: OC=OD, ∠OCD=∠ODC=80°.
  90. ∠BCA = ∠OCD - ∠OCA = 80° - 70° = 10°.
  91. Угол ∠BCA = 10° опирается на дугу AB. Значит дуга AB = 2 * 10° = 20°.
  92. Теперь найдем дугу BC.
  93. Дуга AC = Дуга AB + Дуга BC.
  94. 40° = 20° + Дуга BC.
  95. Дуга BC = 40° - 20° = 20°.
  96. Теперь найдем ∠BAC. Этот угол опирается на дугу BC.
  97. ∠BAC = Дуга BC / 2 = 20° / 2 = 10°.

Ответ: 10°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю